doc/polynomial/hermite.lyx

   1 #This file was created by <bruno> Sun Feb 16 00:38:14 1997
   2 #LyX 0.10 (C) 1995 1996 Matthias Ettrich and the LyX Team
   3 \lyxformat 2.10
   4 \textclass article
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  20 \paperpagestyle plain
  21
  22 \layout Standard
  23
  24 The Hermite polynomials
  25 \begin_inset Formula  \( H_{n}(x) \)
  26 \end_inset
  27
  28  are defined through
  29 \begin_inset Formula
  30 \[
  31 H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\cdot \left( \frac{d}{dx}\right) ^{n}\left( e^{-x^{2}}\right) \]
  32
  33 \end_inset
  34
  35
  36 \layout Description
  37
  38 Theorem:
  39 \layout Standard
  40
  41
  42 \begin_inset Formula  \( H_{n}(x) \)
  43 \end_inset
  44
  45  satisfies the recurrence relation
  46 \layout Standard
  47
  48
  49 \begin_inset Formula
  50 \[
  51 H_{0}(x)=1\]
  52
  53 \end_inset
  54
  55
  56 \layout Standard
  57
  58
  59 \begin_inset Formula
  60 \[
  61 H_{n+1}(x)=2x\cdot H_{n}(x)-2n\cdot H_{n-1}(x)\]
  62
  63 \end_inset
  64
  65  for
  66 \begin_inset Formula  \( n\geq 0 \)
  67 \end_inset
  68
  69  and the differential equation
  70 \begin_inset Formula  \( H_{n}^{''}(x)-2x\cdot H_{n}^{'}(x)+2n\cdot H_{n}(x)=0 \)
  71 \end_inset
  72
  73  for all
  74 \begin_inset Formula  \( n\geq 0 \)
  75 \end_inset
  76
  77 .
  78
  79 \layout Description
  80
  81 Proof:
  82 \layout Standard
  83
  84 Let
  85 \begin_inset Formula  \( F:=\sum ^{\infty }_{n=0}\frac{H_{n}(x)}{n!}z^{n} \)
  86 \end_inset
  87
  88  be the exponential generating function of the sequence of polynomials.
  89  Then, because the Taylor series development theorem holds in formal power
  90  series rings (see [1], section 2.
  91 16), we can simplify
  92 \begin_inset Formula
  93 \begin{eqnarray*}
  94 F & = & e^{x^{2}}\cdot \sum ^{\infty }_{n=0}\frac{1}{n!}\left( \frac{d}{dx}\right) ^{n}\left( e^{-x^{2}}\right) \cdot (-z)^{n}\\
  95  & = & e^{x^{2}}\cdot e^{-(x-z)^{2}}\\
  96  & = & e^{2xz-z^{2}}
  97 \end{eqnarray*}
  98
  99 \end_inset
 100
 101 It follows that
 102 \begin_inset Formula  \( \frac{d}{dz}F=(2x-2z)\cdot F \)
 103 \end_inset
 104
 105 .
 106  This is equivalent to the claimed recurrence.
 107
 108 \layout Standard
 109 \cursor 190
 110 Starting from this equation, we compute a linear relation for the partial
 111  derivatives of
 112 \begin_inset Formula  \( F \)
 113 \end_inset
 114
 115 .
 116  Write
 117 \begin_inset Formula  \( \partial _{x}=\frac{d}{dx} \)
 118 \end_inset
 119
 120  and
 121 \begin_inset Formula  \( \Delta _{z}=z\frac{d}{dz} \)
 122 \end_inset
 123
 124 .
 125  One computes
 126 \begin_inset Formula
 127 \[
 128 F=1\cdot F\]
 129
 130 \end_inset
 131
 132
 133 \begin_inset Formula
 134 \[
 135 \partial _{x}F=2z\cdot F\]
 136
 137 \end_inset
 138
 139
 140 \begin_inset Formula
 141 \[
 142 \partial _{x}^{2}F=4z^{2}\cdot F\]
 143
 144 \end_inset
 145
 146
 147 \begin_inset Formula
 148 \[
 149 \Delta _{z}F=(2xz-2z^{2})\cdot F\]
 150
 151 \end_inset
 152
 153
 154 \begin_inset Formula
 155 \[
 156 \partial _{x}\Delta _{z}F=(2z+4xz^{2}-4z^{3})\cdot F\]
 157
 158 \end_inset
 159
 160
 161 \begin_inset Formula
 162 \[
 163 \Delta _{z}^{2}F=\left( 2x\cdot z+(4x^{2}-4)\cdot z^{2}-8x\cdot z^{3}+4\cdot z^{4}\right) \cdot F\]
 164
 165 \end_inset
 166
 167  Solve a homogeneous
 168 \begin_inset Formula  \( 5\times 6 \)
 169 \end_inset
 170
 171  system of linear equations over
 172 \begin_inset Formula  \( Q(x) \)
 173 \end_inset
 174
 175  to get
 176 \begin_inset Formula
 177 \[
 178 (-2x)\cdot \partial _{x}F+\partial _{x}^{2}F+2\cdot \Delta _{z}F=0\]
 179
 180 \end_inset
 181
 182  This is equivalent to the claimed equation
 183 \begin_inset Formula  \( H_{n}^{''}(x)-2x\cdot H_{n}^{'}(x)+2n\cdot H_{n}(x)=0 \)
 184 \end_inset
 185
 186 .
 187
 188 \layout Bibliography
 189
 190 [1] Bruno Haible: D-finite power series in several variables.
 191
 192 \shape italic
 193 Diploma thesis, University of Karlsruhe, June 1989
 194 \shape default
 195 .
 196  Sections 2.
 197 15 and 2.
 198 22.
 199