doc/polynomial/laguerre.lyx

   1 #This file was created by <bruno> Sun Feb 16 14:05:04 1997
   2 #LyX 0.10 (C) 1995 1996 Matthias Ettrich and the LyX Team
   3 \lyxformat 2.10
   4 \textclass article
   5 \begin_preamble
   6 \catcode`@=11 % @ ist ab jetzt ein gewoehnlicher Buchstabe
   7 \def\ll{\langle\!\langle}
   8 \def\gg{\rangle\!\rangle}
   9 \catcode`@=12 % @ ist ab jetzt wieder ein Sonderzeichen
  10
  11 \end_preamble
  12 \language default
  13 \inputencoding latin1
  14 \fontscheme default
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  19 \secnumdepth 3
  20 \tocdepth 3
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  22 \quotes_language english
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  24 \paperorientation portrait
  25 \papercolumns 0
  26 \papersides 1
  27 \paperpagestyle plain
  28
  29 \layout Standard
  30
  31 The Laguerre polynomials
  32 \begin_inset Formula  \( L_{n}(x) \)
  33 \end_inset
  34
  35  are defined through
  36 \begin_inset Formula
  37 \[
  38 L_{n}(x)=e^{x}\cdot \left( \frac{d}{dx}\right) ^{n}(x^{n}e^{-x})\]
  39
  40 \end_inset
  41
  42
  43 \layout Description
  44
  45 Theorem:
  46 \layout Standard
  47
  48
  49 \begin_inset Formula  \( L_{n}(x) \)
  50 \end_inset
  51
  52  satisfies the recurrence relation
  53 \layout Standard
  54
  55
  56 \begin_inset Formula
  57 \[
  58 L_{0}(x)=1\]
  59
  60 \end_inset
  61
  62
  63 \layout Standard
  64
  65
  66 \begin_inset Formula
  67 \[
  68 L_{n+1}(x)=(2n+1-x)\cdot L_{n}(x)-n^{2}\cdot L_{n-1}(x)\]
  69
  70 \end_inset
  71
  72 for
  73 \begin_inset Formula  \( n\geq 0 \)
  74 \end_inset
  75
  76  and the differential equation
  77 \begin_inset Formula  \( x\cdot L_{n}^{''}(x)+(1-x)\cdot L_{n}^{'}(x)+n\cdot L_{n}(x)=0 \)
  78 \end_inset
  79
  80  for all
  81 \begin_inset Formula  \( n\geq 0 \)
  82 \end_inset
  83
  84 .
  85
  86 \layout Description
  87
  88 Proof:
  89 \layout Standard
  90
  91 Let
  92 \begin_inset Formula  \( F:=\sum ^{\infty }_{n=0}\frac{L_{n}(x)}{n!}\cdot z^{n} \)
  93 \end_inset
  94
  95  be the exponential generating function of the sequence of polynomials.
  96  It is the diagonal series of the power series
  97 \begin_inset Formula
  98 \[
  99 G:=\sum _{m,n=0}^{\infty }\frac{1}{m!}\cdot e^{x}\cdot \left( \frac{d}{dx}\right) ^{m}(x^{n}e^{-x})\cdot y^{m}\cdot z^{n}\]
 100
 101 \end_inset
 102
 103 Because the Taylor series development theorem holds in formal power series
 104  rings (see [1], section 2.
 105 16), we can simplify
 106 \begin_inset Formula
 107 \begin{eqnarray*}
 108 G & = & e^{x}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left( \sum _{m=0}^{\infty }\frac{1}{m!}\cdot \left( \frac{d}{dx}\right) ^{m}(x^{n}e^{-x})\cdot y^{m}\right) \cdot z^{n}\\
 109  & = & e^{x}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }(x+y)^{n}e^{-(x+y)}\cdot z^{n}\\
 110  & = & \frac{e^{-y}}{1-(x+y)z}
 111 \end{eqnarray*}
 112
 113 \end_inset
 114
 115 We take over the terminology from the
 116 \begin_inset Quotes eld
 117 \end_inset
 118
 119 diag_rational
 120 \begin_inset Quotes erd
 121 \end_inset
 122
 123  paper; here
 124 \begin_inset Formula  \( R=Q[x] \)
 125 \end_inset
 126
 127  and
 128 \begin_inset Formula  \( M=Q[[x]] \)
 129 \end_inset
 130
 131  (or, if you like it better,
 132 \begin_inset Formula  \( M=H(C) \)
 133 \end_inset
 134
 135 , the algebra of functions holomorphic in the entire complex plane).
 136
 137 \begin_inset Formula  \( G\in M[[y,z]] \)
 138 \end_inset
 139
 140  is not rational; nevertheless we can proceed similarly to the
 141 \begin_inset Quotes eld
 142 \end_inset
 143
 144 diag_series
 145 \begin_inset Quotes erd
 146 \end_inset
 147
 148  paper.
 149
 150 \begin_inset Formula  \( F(z^{2}) \)
 151 \end_inset
 152
 153  is the coefficient of
 154 \begin_inset Formula  \( t^{0} \)
 155 \end_inset
 156
 157  in
 158 \begin_inset Formula
 159 \[
 160 G(zt,\frac{z}{t})=\frac{e^{-zt}}{1-z^{2}-\frac{xz}{t}}\in M[[zt,\frac{z}{t},z]]=M\ll z,t\gg \]
 161
 162 \end_inset
 163
 164 The denominator's only zero is
 165 \begin_inset Formula  \( t=\frac{xz}{1-z^{2}} \)
 166 \end_inset
 167
 168 .
 169  We can write
 170 \begin_inset Formula
 171 \[
 172 e^{-zt}=e^{-\frac{xz^{2}}{1-z^{2}}}+\left( zt-\frac{xz^{2}}{1-z^{2}}\right) \cdot P(z,t)\]
 173
 174 \end_inset
 175
 176 with
 177 \begin_inset Formula  \( P(z,t)\in Q[[zt,\frac{xz^{2}}{1-z^{2}}]]\subset Q[[zt,x,z]]=M[[zt,z]]\subset M\ll z,t\gg  \)
 178 \end_inset
 179
 180 .
 181  This yields -- all computations being done in
 182 \begin_inset Formula  \( M\ll z,t\gg  \)
 183 \end_inset
 184
 185  --
 186 \begin_inset Formula
 187 \begin{eqnarray*}
 188 G(zt,\frac{z}{t}) & = & \frac{e^{-\frac{xz^{2}}{1-z^{2}}}}{1-z^{2}-\frac{xz}{t}}+\frac{zt}{1-z^{2}}\cdot P(z,t)\\
 189  & = & \frac{1}{1-z^{2}}\cdot e^{-\frac{xz^{2}}{1-z^{2}}}\cdot \sum _{j=0}^{\infty }\left( \frac{x}{1-z^{2}}\frac{z}{t}\right) ^{j}+\frac{zt}{1-z^{2}}\cdot P(z,t)
 190 \end{eqnarray*}
 191
 192 \end_inset
 193
 194 Here, the coefficient of
 195 \begin_inset Formula  \( t^{0} \)
 196 \end_inset
 197
 198  is
 199 \begin_inset Formula
 200 \[
 201 F(z^{2})=\frac{1}{1-z^{2}}\cdot e^{-\frac{xz^{2}}{1-z^{2}}}\]
 202
 203 \end_inset
 204
 205 hence
 206 \begin_inset Formula
 207 \[
 208 F(z)=\frac{1}{1-z}\cdot e^{-\frac{xz}{1-z}}\]
 209
 210 \end_inset
 211
 212
 213 \layout Standard
 214
 215 It follows that
 216 \begin_inset Formula  \( (1-z)^{2}\cdot \frac{d}{dz}F-(1-x-z)\cdot F=0 \)
 217 \end_inset
 218
 219 .
 220  This is equivalent to the claimed recurrence.
 221
 222 \layout Standard
 223
 224 Starting from the closed form for
 225 \begin_inset Formula  \( F \)
 226 \end_inset
 227
 228 , we compute a linear relation for the partial derivatives of
 229 \begin_inset Formula  \( F \)
 230 \end_inset
 231
 232 .
 233  Write
 234 \begin_inset Formula  \( \partial _{x}=\frac{d}{dx} \)
 235 \end_inset
 236
 237  and
 238 \begin_inset Formula  \( \Delta _{z}=z\frac{d}{dz} \)
 239 \end_inset
 240
 241 .
 242  One computes
 243 \begin_inset Formula
 244 \[
 245 F=1\cdot F\]
 246
 247 \end_inset
 248
 249
 250 \begin_inset Formula
 251 \[
 252 \left( 1-z\right) \cdot \partial _{x}F=-z\cdot F\]
 253
 254 \end_inset
 255
 256
 257 \begin_inset Formula
 258 \[
 259 \left( 1-z\right) ^{2}\cdot \partial _{x}^{2}F=z^{2}\cdot F\]
 260
 261 \end_inset
 262
 263
 264 \begin_inset Formula
 265 \[
 266 \left( 1-z\right) ^{2}\cdot \Delta _{z}F=((1-x)z-z^{2})\cdot F\]
 267
 268 \end_inset
 269
 270
 271 \begin_inset Formula
 272 \[
 273 \left( 1-z\right) ^{3}\cdot \partial _{x}\Delta _{z}F=(-z+xz^{2}+z^{3})\cdot F\]
 274
 275 \end_inset
 276
 277 Solve a homogeneous
 278 \begin_inset Formula  \( 4\times 5 \)
 279 \end_inset
 280
 281  system of linear equations over
 282 \begin_inset Formula  \( Q(x) \)
 283 \end_inset
 284
 285  to get
 286 \begin_inset Formula
 287 \[
 288 \left( 1-z\right) ^{3}\cdot \left( (1-x)\cdot \partial _{x}F+x\cdot \partial _{x}^{2}F+\Delta _{z}F\right) =0\]
 289
 290 \end_inset
 291
 292 Divide by the first factor to get
 293 \begin_inset Formula
 294 \[
 295 (1-x)\cdot \partial _{x}F+x\cdot \partial _{x}^{2}F+\Delta _{z}F=0\]
 296
 297 \end_inset
 298
 299 This is equivalent to the claimed equation
 300 \begin_inset Formula  \( x\cdot L_{n}^{''}(x)+(1-x)\cdot L_{n}^{'}(x)+n\cdot L_{n}(x)=0 \)
 301 \end_inset
 302
 303 .
 304
 305 \layout Bibliography
 306 \cursor 123
 307 [1] Bruno Haible: D-finite power series in several variables.
 308
 309 \shape italic
 310 Diploma thesis, University of Karlsruhe, June 1989
 311 \shape default
 312 .
 313  Sections 2.
 314 15 and 2.
 315 22.
 316