doc/polynomial/laguerre.tex

   1 %% This LaTeX-file was created by <bruno> Sun Feb 16 14:06:08 1997
   2 %% LyX 0.10 (C) 1995 1996 by Matthias Ettrich and the LyX Team
   3
   4 %% Don't edit this file unless you are sure what you are doing.
   5 \documentclass[12pt,a4paper,oneside,onecolumn]{article}
   6 \usepackage[]{fontenc}
   7 \usepackage[latin1]{inputenc}
   8 \usepackage[dvips]{epsfig}
   9
  10 %%
  11 %% BEGIN The lyx specific LaTeX commands.
  12 %%
  13
  14 \makeatletter
  15 \def\LyX{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}%
  16 \newcommand{\lyxtitle}[1] {\thispagestyle{empty}
  17 \global\@topnum\z@
  18 \section*{\LARGE \centering \sffamily \bfseries \protect#1 }
  19 }
  20 \newcommand{\lyxline}[1]{
  21 {#1 \vspace{1ex} \hrule width \columnwidth \vspace{1ex}}
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  24 {
  25 \section*{\refname}
  26 \@mkboth{\uppercase{\refname}}{\uppercase{\refname}}
  27 \begin{list}{}{
  28 \itemindent-\leftmargin
  29 \labelsep 0pt
  30 \renewcommand{\makelabel}{}
  31 }
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  76 #1
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  92
  93 %%
  94 %% END The lyx specific LaTeX commands.
  95 %%
  96
  97 \pagestyle{plain}
  98 \setcounter{secnumdepth}{3}
  99 \setcounter{tocdepth}{3}
 100
 101 %% Begin LyX user specified preamble:
 102 \catcode`@=11 % @ ist ab jetzt ein gewoehnlicher Buchstabe
 103 \def\ll{\langle\!\langle}
 104 \def\gg{\rangle\!\rangle}
 105 \catcode`@=12 % @ ist ab jetzt wieder ein Sonderzeichen
 106
 107
 108 %% End LyX user specified preamble.
 109 \begin{document}
 110
 111 The Laguerre polynomials  \( L_{n}(x) \) are defined through
 112 \[
 113 L_{n}(x)=e^{x}\cdot \left( \frac{d}{dx}\right) ^{n}(x^{n}e^{-x})\]
 114
 115
 116 \begin{description}
 117
 118 \item [Theorem:]~
 119
 120 \end{description}
 121
 122  \( L_{n}(x) \) satisfies the recurrence relation
 123
 124
 125 \[
 126 L_{0}(x)=1\]
 127
 128
 129
 130 \[
 131 L_{n+1}(x)=(2n+1-x)\cdot L_{n}(x)-n^{2}\cdot L_{n-1}(x)\]
 132 for  \( n\geq 0 \) and the differential equation  \( x\cdot L_{n}^{''}(x)+(1-x)\cdot L_{n}^{'}(x)+n\cdot L_{n}(x)=0 \) for all  \( n\geq 0 \).
 133
 134 \begin{description}
 135
 136 \item [Proof:]~
 137
 138 \end{description}
 139
 140 Let  \( F:=\sum ^{\infty }_{n=0}\frac{L_{n}(x)}{n!}\cdot z^{n} \) be the exponential generating function of the sequence of polynomials.
 141 It is the diagonal series of the power series
 142 \[
 143 G:=\sum _{m,n=0}^{\infty }\frac{1}{m!}\cdot e^{x}\cdot \left( \frac{d}{dx}\right) ^{m}(x^{n}e^{-x})\cdot y^{m}\cdot z^{n}\]
 144 Because the Taylor series
 145 development theorem holds in formal power series rings (see [1], section
 146 2.16), we can simplify
 147 \begin{eqnarray*}
 148 G & = & e^{x}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left( \sum _{m=0}^{\infty }\frac{1}{m!}\cdot \left( \frac{d}{dx}\right) ^{m}(x^{n}e^{-x})\cdot y^{m}\right) \cdot z^{n}\\
 149  & = & e^{x}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }(x+y)^{n}e^{-(x+y)}\cdot z^{n}\\
 150  & = & \frac{e^{-y}}{1-(x+y)z}
 151 \end{eqnarray*}
 152 We take over the terminology from the ``diag\_rational''
 153 paper; here  \( R=Q[x] \) and  \( M=Q[[x]] \) (or, if you like it better,  \( M=H(C) \), the algebra of
 154 functions holomorphic in the entire complex plane).  \( G\in M[[y,z]] \) is not rational;
 155 nevertheless we can proceed similarly to the ``diag\_series'' paper.
 156  \( F(z^{2}) \) is the coefficient of  \( t^{0} \) in
 157 \[
 158 G(zt,\frac{z}{t})=\frac{e^{-zt}}{1-z^{2}-\frac{xz}{t}}\in M[[zt,\frac{z}{t},z]]=M\ll z,t\gg \]
 159 The denominator's only zero is  \( t=\frac{xz}{1-z^{2}} \). We
 160 can write
 161 \[
 162 e^{-zt}=e^{-\frac{xz^{2}}{1-z^{2}}}+\left( zt-\frac{xz^{2}}{1-z^{2}}\right) \cdot P(z,t)\]
 163 with  \( P(z,t)\in Q[[zt,\frac{xz^{2}}{1-z^{2}}]]\subset Q[[zt,x,z]]=M[[zt,z]]\subset M\ll z,t\gg  \). This yields -- all computations being done in  \( M\ll z,t\gg  \)
 164 --
 165 \begin{eqnarray*}
 166 G(zt,\frac{z}{t}) & = & \frac{e^{-\frac{xz^{2}}{1-z^{2}}}}{1-z^{2}-\frac{xz}{t}}+\frac{zt}{1-z^{2}}\cdot P(z,t)\\
 167  & = & \frac{1}{1-z^{2}}\cdot e^{-\frac{xz^{2}}{1-z^{2}}}\cdot \sum _{j=0}^{\infty }\left( \frac{x}{1-z^{2}}\frac{z}{t}\right) ^{j}+\frac{zt}{1-z^{2}}\cdot P(z,t)
 168 \end{eqnarray*}
 169 Here, the coefficient of  \( t^{0} \) is
 170 \[
 171 F(z^{2})=\frac{1}{1-z^{2}}\cdot e^{-\frac{xz^{2}}{1-z^{2}}}\]
 172 hence
 173 \[
 174 F(z)=\frac{1}{1-z}\cdot e^{-\frac{xz}{1-z}}\]
 175
 176
 177 It follows that  \( (1-z)^{2}\cdot \frac{d}{dz}F-(1-x-z)\cdot F=0 \). This is equivalent to the claimed recurrence.
 178
 179 Starting from the closed form for  \( F \), we compute a linear relation
 180 for the partial derivatives of  \( F \). Write  \( \partial _{x}=\frac{d}{dx} \) and  \( \Delta _{z}=z\frac{d}{dz} \). One computes
 181 \[
 182 F=1\cdot F\]
 183
 184 \[
 185 \left( 1-z\right) \cdot \partial _{x}F=-z\cdot F\]
 186
 187 \[
 188 \left( 1-z\right) ^{2}\cdot \partial _{x}^{2}F=z^{2}\cdot F\]
 189
 190 \[
 191 \left( 1-z\right) ^{2}\cdot \Delta _{z}F=((1-x)z-z^{2})\cdot F\]
 192
 193 \[
 194 \left( 1-z\right) ^{3}\cdot \partial _{x}\Delta _{z}F=(-z+xz^{2}+z^{3})\cdot F\]
 195 Solve
 196 a homogeneous  \( 4\times 5 \) system of linear equations over  \( Q(x) \) to get
 197 \[
 198 \left( 1-z\right) ^{3}\cdot \left( (1-x)\cdot \partial _{x}F+x\cdot \partial _{x}^{2}F+\Delta _{z}F\right) =0\]
 199 Divide by
 200 the first factor to get
 201 \[
 202 (1-x)\cdot \partial _{x}F+x\cdot \partial _{x}^{2}F+\Delta _{z}F=0\]
 203 This is equivalent to the claimed equation
 204  \( x\cdot L_{n}^{''}(x)+(1-x)\cdot L_{n}^{'}(x)+n\cdot L_{n}(x)=0 \).
 205
 206 \begin{lyxsectionbibliography}
 207
 208 \item [1] Bruno Haible: D-finite power series in several variables. \em Diploma
 209 thesis, University of Karlsruhe, June 1989\em . Sections 2.15 and
 210 2.22.
 211
 212 \end{lyxsectionbibliography}
 213
 214 \end{document}