doc/polynomial/legendre.tex

   1 %% This LaTeX-file was created by <bruno> Sun Feb 16 14:24:52 1997
   2 %% LyX 0.10 (C) 1995 1996 by Matthias Ettrich and the LyX Team
   3
   4 %% Don't edit this file unless you are sure what you are doing.
   5 \documentclass[12pt,a4paper,oneside,onecolumn]{article}
   6 \usepackage[]{fontenc}
   7 \usepackage[latin1]{inputenc}
   8 \usepackage[dvips]{epsfig}
   9
  10 %%
  11 %% BEGIN The lyx specific LaTeX commands.
  12 %%
  13
  14 \makeatletter
  15 \def\LyX{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}%
  16 \newcommand{\lyxtitle}[1] {\thispagestyle{empty}
  17 \global\@topnum\z@
  18 \section*{\LARGE \centering \sffamily \bfseries \protect#1 }
  19 }
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  24 {
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  26 \@mkboth{\uppercase{\refname}}{\uppercase{\refname}}
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  28 \itemindent-\leftmargin
  29 \labelsep 0pt
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  31 }
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  92
  93 %%
  94 %% END The lyx specific LaTeX commands.
  95 %%
  96
  97 \pagestyle{plain}
  98 \setcounter{secnumdepth}{3}
  99 \setcounter{tocdepth}{3}
 100
 101 %% Begin LyX user specified preamble:
 102 \catcode`@=11 % @ ist ab jetzt ein gewoehnlicher Buchstabe
 103 \def\mod#1{\allowbreak \mkern8mu \mathop{\operator@font mod}\,\,{#1}}
 104 \def\pmod#1{\allowbreak \mkern8mu \left({\mathop{\operator@font mod}\,\,{#1}}\right)}
 105 \catcode`@=12 % @ ist ab jetzt wieder ein Sonderzeichen
 106
 107
 108 %% End LyX user specified preamble.
 109 \begin{document}
 110
 111 The Legendre polynomials  \( P_{n}(x) \) are defined through
 112 \[
 113 P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\cdot \left( \frac{d}{dx}\right) ^{n}(x^{2}-1)^{n}\]
 114 (For a motivation
 115 of the  \( 2^{n} \) in the denominator, look at  \( P_{n}(x) \) modulo an odd prime  \( p \), and
 116 observe that  \( P_{n}(x)\equiv P_{p-1-n}(x)\mod p \) for  \( 0\leq n\leq p-1 \). This wouldn't hold if the  \( 2^{n} \) factor in the denominator
 117 weren't present.)
 118
 119 \begin{description}
 120
 121 \item [Theorem:]~
 122
 123 \end{description}
 124
 125  \( P_{n}(x) \) satisfies the recurrence relation
 126
 127
 128 \[
 129 P_{0}(x)=1\]
 130
 131
 132
 133 \[
 134 (n+1)\cdot P_{n+1}(x)=(2n+1)x\cdot P_{n}(x)-n\cdot P_{n-1}(x)\]
 135 for  \( n\geq 0 \) and the differential equation  \( (1-x^{2})\cdot P_{n}^{''}(x)-2x\cdot P_{n}^{'}(x)+(n^{2}+n)\cdot P_{n}(x)=0 \) for all  \( n\geq 0 \).
 136
 137 \begin{description}
 138
 139 \item [Proof:]~
 140
 141 \end{description}
 142
 143 Let  \( F:=\sum ^{\infty }_{n=0}P_{n}(x)\cdot z^{n} \) be the generating function of the sequence of polynomials. It
 144 is the diagonal series of the power series
 145 \[
 146 G:=\sum _{m,n=0}^{\infty }\frac{1}{2^{n}m!}\cdot \left( \frac{d}{dx}\right) ^{m}(x^{2}-1)^{n}\cdot y^{m}\cdot z^{n}\]
 147 Because the Taylor series
 148 development theorem holds in formal power series rings (see [1], section
 149 2.16), we can simplify
 150 \begin{eqnarray*}
 151 G & = & \sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}\cdot \left( \sum _{m=0}^{\infty }\frac{1}{m!}\cdot \left( \frac{d}{dx}\right) ^{m}(x^{2}-1)^{n}\cdot y^{m}\right) \cdot z^{n}\\
 152  & = & \sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}\cdot \left( (x+y)^{2}-1\right) ^{n}\cdot z^{n}\\
 153  & = & \frac{1}{1-\frac{1}{2}\left( (x+y)^{2}-1\right) z}
 154 \end{eqnarray*}
 155 We take over the terminology from the ``diag\_rational''
 156 paper; here  \( R=Q[x] \) and  \( M=Q[[x]] \) (or, if you like it better,  \( M=H(C) \), the algebra of
 157 functions holomorphic in the entire complex plane).  \( G\in M[[y,z]] \) is rational;
 158 hence  \( F \) is algebraic over  \( R[z] \). Let's proceed exactly as in the ``diag\_series''
 159 paper.  \( F(z^{2}) \) is the coefficient of  \( t^{0} \) in
 160 \[
 161 G(zt,\frac{z}{t})=\frac{2t}{2t-\left( (x+zt)^{2}-1\right) z}=\frac{2t}{-z^{3}\cdot t^{2}+2(1-xz^{2})\cdot t+(z-x^{2}z)}\]
 162 The splitting field of the denominator
 163 is  \( L=Q(x)(z)(\alpha ) \) where
 164 \[
 165 \alpha _{1/2}=\frac{1-xz^{2}\pm \sqrt{1-2xz^{2}+z^{4}}}{z^{3}}\]
 166
 167 \[
 168 \alpha =\alpha _{1}=\frac{2}{z^{3}}-\frac{2x}{z}+\frac{1-x^{2}}{2}z+\cdots \in Q(x)[[z]][\frac{1}{z}]\]
 169
 170 \[
 171 \alpha _{2}=\frac{x^{2}-1}{2}z+\cdots \in Q(x)[[z]][\frac{1}{z}]\]
 172 The partial fraction decomposition of  \( G(zt,\frac{z}{t}) \) reads
 173 \[
 174 G(zt,\frac{z}{t})=-\frac{2}{z^{3}}\cdot \frac{1}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}\cdot \left( \frac{\alpha _{1}}{t-\alpha _{1}}-\frac{\alpha _{2}}{t-\alpha _{2}}\right) \]
 175 It follows
 176 that
 177 \[
 178 F(z^{2})=-\frac{2}{z^{3}}\cdot \frac{1}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}\cdot \left( \frac{\alpha _{1}}{0-\alpha _{1}}-0\right) =\frac{1}{\sqrt{1-2xz^{2}+z^{4}}}\]
 179 hence
 180 \[
 181 F(z)=\frac{1}{\sqrt{1-2xz+z^{2}}}\]
 182
 183
 184 It follows that  \( (1-2xz+z^{2})\cdot \frac{d}{dz}F+(z-x)\cdot F=0 \). This is equivalent to the claimed recurrence.
 185
 186 Starting from the closed form for  \( F \), we compute a linear relation
 187 for the partial derivatives of  \( F \). Write  \( \partial _{x}=\frac{d}{dx} \) and  \( \Delta _{z}=z\frac{d}{dz} \). One computes
 188 \[
 189 F=1\cdot F\]
 190
 191 \[
 192 \left( 1-2xz+z^{2}\right) \cdot \partial _{x}F=z\cdot F\]
 193
 194 \[
 195 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{2}\cdot \partial _{x}^{2}F=3z^{2}\cdot F\]
 196
 197 \[
 198 \left( 1-2xz+z^{2}\right) \cdot \Delta _{z}F=(xz-z^{2})\cdot F\]
 199
 200 \[
 201 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{2}\cdot \partial _{x}\Delta _{z}F=(z+xz^{2}-2z^{3})\cdot F\]
 202
 203 \[
 204 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{2}\cdot \Delta _{z}^{2}F=\left( xz+(x^{2}-2)z^{2}-xz^{3}+z^{4}\right) \cdot F\]
 205 Solve
 206 a homogeneous  \( 5\times 6 \) system of linear equations over  \( Q(x) \) to get
 207 \[
 208 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{2}\cdot \left( (-2x)\cdot \partial _{x}F+(1-x^{2})\cdot \partial _{x}^{2}F+\Delta _{z}F+\Delta _{z}^{2}F\right) =0\]
 209 Divide by
 210 the first factor to get
 211 \[
 212 (-2x)\cdot \partial _{x}F+(1-x^{2})\cdot \partial _{x}^{2}F+\Delta _{z}F+\Delta _{z}^{2}F=0\]
 213 This is equivalent to the claimed equation
 214  \( (1-x^{2})\cdot P_{n}^{''}(x)-2x\cdot P_{n}^{'}(x)+(n^{2}+n)\cdot P_{n}(x)=0 \).
 215
 216 \begin{lyxsectionbibliography}
 217
 218 \item [1] Bruno Haible: D-finite power series in several variables. \em Diploma
 219 thesis, University of Karlsruhe, June 1989\em . Sections 2.14, 2.15
 220 and 2.22.
 221
 222 \end{lyxsectionbibliography}
 223
 224 \end{document}