doc/polynomial/tchebychev.lyx

   1 #This file was created by <bruno> Sun Feb 16 00:32:21 1997
   2 #LyX 0.10 (C) 1995 1996 Matthias Ettrich and the LyX Team
   3 \lyxformat 2.10
   4 \textclass article
   5 \language default
   6 \inputencoding latin1
   7 \fontscheme default
   8 \epsfig dvips
   9 \papersize a4paper
  10 \paperfontsize 12
  11 \baselinestretch 1.00
  12 \secnumdepth 3
  13 \tocdepth 3
  14 \paragraph_separation indent
  15 \quotes_language english
  16 \quotes_times 2
  17 \paperorientation portrait
  18 \papercolumns 1
  19 \papersides 1
  20 \paperpagestyle plain
  21
  22 \layout Standard
  23
  24 The Tschebychev polynomials (of the 1st kind)
  25 \begin_inset Formula  \( T_{n}(x) \)
  26 \end_inset
  27
  28  are defined through the recurrence relation
  29 \layout Standard
  30
  31
  32 \begin_inset Formula
  33 \[
  34 T_{0}(x)=1\]
  35
  36 \end_inset
  37
  38
  39 \layout Standard
  40
  41
  42 \begin_inset Formula
  43 \[
  44 T_{1}(x)=x\]
  45
  46 \end_inset
  47
  48
  49 \layout Standard
  50
  51
  52 \begin_inset Formula
  53 \[
  54 T_{n+2}(x)=2x\cdot T_{n+1}(x)-T_{n}(x)\]
  55
  56 \end_inset
  57
  58  for
  59 \begin_inset Formula  \( n\geq 0 \)
  60 \end_inset
  61
  62 .
  63
  64 \layout Description
  65
  66 Theorem:
  67 \layout Standard
  68
  69
  70 \begin_inset Formula  \( T_{n}(x) \)
  71 \end_inset
  72
  73  satisfies the differential equation
  74 \begin_inset Formula  \( (x^{2}-1)\cdot T_{n}^{''}(x)+x\cdot T_{n}^{'}(x)-n^{2}\cdot T_{n}(x)=0 \)
  75 \end_inset
  76
  77  for all
  78 \begin_inset Formula  \( n\geq 0 \)
  79 \end_inset
  80
  81 .
  82
  83 \layout Description
  84
  85 Proof:
  86 \layout Standard
  87
  88 Let
  89 \begin_inset Formula  \( F:=\sum ^{\infty }_{n=0}T_{n}(x)z^{n} \)
  90 \end_inset
  91
  92  be the generating function of the sequence of polynomials.
  93  The recurrence is equivalent to the equation
  94 \begin_inset Formula
  95 \[
  96 (1-2x\cdot z+z^{2})\cdot F=1-x\cdot z\]
  97
  98 \end_inset
  99
 100
 101 \layout Description
 102
 103 Proof
 104 \protected_separator
 105 1:
 106 \layout Standard
 107
 108
 109 \begin_inset Formula  \( F \)
 110 \end_inset
 111
 112  is a rational function in
 113 \begin_inset Formula  \( z \)
 114 \end_inset
 115
 116 ,
 117 \begin_inset Formula  \( F=\frac{1-xz}{1-2xz+z^{2}} \)
 118 \end_inset
 119
 120 .
 121  From the theory of recursions with constant coefficients, we know that
 122  we have to perform a partial fraction decomposition.
 123  So let
 124 \begin_inset Formula  \( p(z)=z^{2}-2x\cdot z+1 \)
 125 \end_inset
 126
 127  be the denominator and
 128 \begin_inset Formula  \( \alpha =x+\sqrt{x^{2}-1} \)
 129 \end_inset
 130
 131  and
 132 \begin_inset Formula  \( \alpha ^{-1} \)
 133 \end_inset
 134
 135  its zeroes.
 136  The partial fraction decomposition reads
 137 \begin_inset Formula
 138 \[
 139 F=\frac{1-xz}{1-2xz+z^{2}}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1-\alpha z}+\frac{1}{1-\alpha ^{-1}z}\right) \]
 140
 141 \end_inset
 142
 143  hence
 144 \begin_inset Formula  \( T_{n}(x)=\frac{1}{2}(\alpha ^{n}+\alpha ^{-n}) \)
 145 \end_inset
 146
 147 .
 148  Note that the field
 149 \begin_inset Formula  \( Q(x)(\alpha ) \)
 150 \end_inset
 151
 152 , being a finite dimensional extension field of
 153 \begin_inset Formula  \( Q(x) \)
 154 \end_inset
 155
 156  in characteristic 0, has a unique derivation extending
 157 \begin_inset Formula  \( \frac{d}{dx} \)
 158 \end_inset
 159
 160  on
 161 \begin_inset Formula  \( Q(x) \)
 162 \end_inset
 163
 164 .
 165  We can therefore try to construct an annihilating differential operator
 166  for
 167 \begin_inset Formula  \( T_{n}(x) \)
 168 \end_inset
 169
 170  by combination of annihilating differential operators for
 171 \begin_inset Formula  \( \alpha ^{n} \)
 172 \end_inset
 173
 174  and
 175 \begin_inset Formula  \( \alpha ^{-n} \)
 176 \end_inset
 177
 178 .
 179  In fact,
 180 \begin_inset Formula  \( L_{1}:=(\alpha -x)\frac{d}{dx}-n \)
 181 \end_inset
 182
 183  satisfies
 184 \begin_inset Formula  \( L_{1}[\alpha ^{n}]=0 \)
 185 \end_inset
 186
 187 , and
 188 \begin_inset Formula  \( L_{2}:=(\alpha -x)\frac{d}{dx}+n \)
 189 \end_inset
 190
 191  satisfies
 192 \begin_inset Formula  \( L_{2}[\alpha ^{-n}]=0 \)
 193 \end_inset
 194
 195 .
 196  A common multiple of
 197 \begin_inset Formula  \( L_{1} \)
 198 \end_inset
 199
 200  and
 201 \begin_inset Formula  \( L_{2} \)
 202 \end_inset
 203
 204  is easily found by solving an appropriate system of linear equations:
 205 \layout Standard
 206
 207
 208 \begin_inset Formula  \( L=(x^{2}-1)\left( \frac{d}{dx}\right) ^{2}+x\frac{d}{dx}-n^{2}=\left( (\alpha -x)\frac{d}{dx}+n\right) \cdot L_{1}=\left( (\alpha -x)\frac{d}{dx}-n\right) \cdot L_{2} \)
 209 \end_inset
 210
 211
 212 \layout Standard
 213
 214 It follows that both
 215 \begin_inset Formula  \( L[\alpha ^{n}]=0 \)
 216 \end_inset
 217
 218  and
 219 \begin_inset Formula  \( L[\alpha ^{-n}]=0 \)
 220 \end_inset
 221
 222 , hence
 223 \begin_inset Formula  \( L[T_{n}(x)]=0 \)
 224 \end_inset
 225
 226 .
 227
 228 \layout Description
 229
 230 Proof
 231 \protected_separator
 232 2:
 233 \layout Standard
 234
 235 Starting from the above equation, we compute a linear relation for the partial
 236  derivatives of
 237 \begin_inset Formula  \( F \)
 238 \end_inset
 239
 240 .
 241  Write
 242 \begin_inset Formula  \( \partial _{x}=\frac{d}{dx} \)
 243 \end_inset
 244
 245  and
 246 \begin_inset Formula  \( \Delta _{z}=z\frac{d}{dz} \)
 247 \end_inset
 248
 249 .
 250  One computes
 251 \layout Standard
 252
 253
 254 \begin_inset Formula
 255 \[
 256 \left( 1-2xz+z^{2}\right) \cdot F=1-xz\]
 257
 258 \end_inset
 259
 260
 261 \begin_inset Formula
 262 \[
 263 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{2}\cdot \partial _{x}F=z-z^{3}\]
 264
 265 \end_inset
 266
 267
 268 \begin_inset Formula
 269 \[
 270 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{3}\cdot \partial _{x}^{2}F=4z^{2}-4z^{4}\]
 271
 272 \end_inset
 273
 274
 275 \begin_inset Formula
 276 \[
 277 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{2}\cdot \Delta _{z}F=xz-2z^{2}+xz^{3}\]
 278
 279 \end_inset
 280
 281
 282 \begin_inset Formula
 283 \[
 284 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{3}\cdot \partial _{x}\Delta _{z}F=z+2xz^{2}-6z^{3}+2xz^{4}+z^{5}\]
 285
 286 \end_inset
 287
 288
 289 \begin_inset Formula
 290 \[
 291 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{3}\cdot \Delta _{z}^{2}F=xz+(2x^{2}-4)z^{2}-(2x^{2}-4)z^{4}-xz^{5}\]
 292
 293 \end_inset
 294
 295
 296 \layout Standard
 297
 298 Solve a
 299 \begin_inset Formula  \( 6\times 6 \)
 300 \end_inset
 301
 302  system of linear equations over
 303 \begin_inset Formula  \( Q(x) \)
 304 \end_inset
 305
 306  to get
 307 \begin_inset Formula
 308 \[
 309 x\cdot \partial _{x}F+(x^{2}-1)\cdot \partial _{x}^{2}F-\Delta _{z}^{2}F=0\]
 310
 311 \end_inset
 312
 313
 314 \layout Standard
 315
 316 This is equivalent to the claimed equation
 317 \begin_inset Formula  \( (x^{2}-1)\cdot T_{n}^{''}(x)+x\cdot T_{n}^{'}(x)-n^{2}\cdot T_{n}(x)=0 \)
 318 \end_inset
 319
 320 .
 321
 322 \layout Bibliography
 323 \cursor 137
 324 [1] Bruno Haible: D-finite power series in several variables.
 325
 326 \shape italic
 327 Diploma thesis, University of Karlsruhe, June 1989.
 328
 329 \shape default
 330  Sections 2.
 331 12 and 2.
 332 15.
 333