doc/polynomial/tchebychev.tex

   1 %% This LaTeX-file was created by <bruno> Sun Feb 16 14:05:43 1997
   2 %% LyX 0.10 (C) 1995 1996 by Matthias Ettrich and the LyX Team
   3
   4 %% Don't edit this file unless you are sure what you are doing.
   5 \documentclass[12pt,a4paper,oneside,onecolumn]{article}
   6 \usepackage[]{fontenc}
   7 \usepackage[latin1]{inputenc}
   8 \usepackage[dvips]{epsfig}
   9
  10 %%
  11 %% BEGIN The lyx specific LaTeX commands.
  12 %%
  13
  14 \makeatletter
  15 \def\LyX{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}%
  16 \newcommand{\lyxtitle}[1] {\thispagestyle{empty}
  17 \global\@topnum\z@
  18 \section*{\LARGE \centering \sffamily \bfseries \protect#1 }
  19 }
  20 \newcommand{\lyxline}[1]{
  21 {#1 \vspace{1ex} \hrule width \columnwidth \vspace{1ex}}
  22 }
  23 \newenvironment{lyxsectionbibliography}
  24 {
  25 \section*{\refname}
  26 \@mkboth{\uppercase{\refname}}{\uppercase{\refname}}
  27 \begin{list}{}{
  28 \itemindent-\leftmargin
  29 \labelsep 0pt
  30 \renewcommand{\makelabel}{}
  31 }
  32 }
  33 {\end{list}}
  34 \newenvironment{lyxchapterbibliography}
  35 {
  36 \chapter*{\bibname}
  37 \@mkboth{\uppercase{\bibname}}{\uppercase{\bibname}}
  38 \begin{list}{}{
  39 \itemindent-\leftmargin
  40 \labelsep 0pt
  41 \renewcommand{\makelabel}{}
  42 }
  43 }
  44 {\end{list}}
  45 \def\lxq{"}
  46 \newenvironment{lyxcode}
  47 {\list{}{
  48 \rightmargin\leftmargin
  49 \raggedright
  50 \itemsep 0pt
  51 \parsep 0pt
  52 \ttfamily
  53 }%
  54 \item[]
  55 }
  56 {\endlist}
  57 \newcommand{\lyxlabel}[1]{#1 \hfill}
  58 \newenvironment{lyxlist}[1]
  59 {\begin{list}{}
  60 {\settowidth{\labelwidth}{#1}
  61 \setlength{\leftmargin}{\labelwidth}
  62 \addtolength{\leftmargin}{\labelsep}
  63 \renewcommand{\makelabel}{\lyxlabel}}}
  64 {\end{list}}
  65 \newcommand{\lyxletterstyle}{
  66 \setlength\parskip{0.7em}
  67 \setlength\parindent{0pt}
  68 }
  69 \newcommand{\lyxaddress}[1]{
  70 \par {\raggedright #1
  71 \vspace{1.4em}
  72 \noindent\par}
  73 }
  74 \newcommand{\lyxrightaddress}[1]{
  75 \par {\raggedleft \begin{tabular}{l}\ignorespaces
  76 #1
  77 \end{tabular}
  78 \vspace{1.4em}
  79 \par}
  80 }
  81 \newcommand{\lyxformula}[1]{
  82 \begin{eqnarray*}
  83 #1
  84 \end{eqnarray*}
  85 }
  86 \newcommand{\lyxnumberedformula}[1]{
  87 \begin{eqnarray}
  88 #1
  89 \end{eqnarray}
  90 }
  91 \makeatother
  92
  93 %%
  94 %% END The lyx specific LaTeX commands.
  95 %%
  96
  97 \pagestyle{plain}
  98 \setcounter{secnumdepth}{3}
  99 \setcounter{tocdepth}{3}
 100 \begin{document}
 101
 102 The Tschebychev polynomials (of the 1st kind)  \( T_{n}(x) \) are defined through
 103 the recurrence relation
 104
 105
 106 \[
 107 T_{0}(x)=1\]
 108
 109
 110
 111 \[
 112 T_{1}(x)=x\]
 113
 114
 115
 116 \[
 117 T_{n+2}(x)=2x\cdot T_{n+1}(x)-T_{n}(x)\]
 118  for  \( n\geq 0 \).
 119
 120 \begin{description}
 121
 122 \item [Theorem:]~
 123
 124 \end{description}
 125
 126  \( T_{n}(x) \) satisfies the differential equation  \( (x^{2}-1)\cdot T_{n}^{''}(x)+x\cdot T_{n}^{'}(x)-n^{2}\cdot T_{n}(x)=0 \) for all  \( n\geq 0 \).
 127
 128 \begin{description}
 129
 130 \item [Proof:]~
 131
 132 \end{description}
 133
 134 Let  \( F:=\sum ^{\infty }_{n=0}T_{n}(x)z^{n} \) be the generating function of the sequence of polynomials. The
 135 recurrence is equivalent to the equation
 136 \[
 137 (1-2x\cdot z+z^{2})\cdot F=1-x\cdot z\]
 138
 139
 140 \begin{description}
 141
 142 \item [Proof~1:]~
 143
 144 \end{description}
 145
 146  \( F \) is a rational function in  \( z \),  \( F=\frac{1-xz}{1-2xz+z^{2}} \). From the theory of recursions with
 147 constant coefficients, we know that we have to perform a partial fraction
 148 decomposition. So let  \( p(z)=z^{2}-2x\cdot z+1 \) be the denominator and  \( \alpha =x+\sqrt{x^{2}-1} \) and  \( \alpha ^{-1} \) its zeroes.
 149 The partial fraction decomposition reads
 150 \[
 151 F=\frac{1-xz}{1-2xz+z^{2}}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1-\alpha z}+\frac{1}{1-\alpha ^{-1}z}\right) \]
 152  hence  \( T_{n}(x)=\frac{1}{2}(\alpha ^{n}+\alpha ^{-n}) \). Note that the
 153 field  \( Q(x)(\alpha ) \), being a finite dimensional extension field of  \( Q(x) \) in characteristic
 154 0, has a unique derivation extending  \( \frac{d}{dx} \) on  \( Q(x) \). We can therefore try
 155 to construct an annihilating differential operator for  \( T_{n}(x) \) by combination
 156 of annihilating differential operators for  \( \alpha ^{n} \) and  \( \alpha ^{-n} \). In fact,  \( L_{1}:=(\alpha -x)\frac{d}{dx}-n \) satisfies
 157  \( L_{1}[\alpha ^{n}]=0 \), and  \( L_{2}:=(\alpha -x)\frac{d}{dx}+n \) satisfies  \( L_{2}[\alpha ^{-n}]=0 \). A common multiple of  \( L_{1} \) and  \( L_{2} \) is easily found
 158 by solving an appropriate system of linear equations:
 159
 160  \( L=(x^{2}-1)\left( \frac{d}{dx}\right) ^{2}+x\frac{d}{dx}-n^{2}=\left( (\alpha -x)\frac{d}{dx}+n\right) \cdot L_{1}=\left( (\alpha -x)\frac{d}{dx}-n\right) \cdot L_{2} \)
 161
 162 It follows that both  \( L[\alpha ^{n}]=0 \) and  \( L[\alpha ^{-n}]=0 \), hence  \( L[T_{n}(x)]=0 \).
 163
 164 \begin{description}
 165
 166 \item [Proof~2:]~
 167
 168 \end{description}
 169
 170 Starting from the above equation, we compute a linear relation for
 171 the partial derivatives of  \( F \). Write  \( \partial _{x}=\frac{d}{dx} \) and  \( \Delta _{z}=z\frac{d}{dz} \). One computes
 172
 173
 174 \[
 175 \left( 1-2xz+z^{2}\right) \cdot F=1-xz\]
 176
 177 \[
 178 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{2}\cdot \partial _{x}F=z-z^{3}\]
 179
 180 \[
 181 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{3}\cdot \partial _{x}^{2}F=4z^{2}-4z^{4}\]
 182
 183 \[
 184 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{2}\cdot \Delta _{z}F=xz-2z^{2}+xz^{3}\]
 185
 186 \[
 187 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{3}\cdot \partial _{x}\Delta _{z}F=z+2xz^{2}-6z^{3}+2xz^{4}+z^{5}\]
 188
 189 \[
 190 \left( 1-2xz+z^{2}\right) ^{3}\cdot \Delta _{z}^{2}F=xz+(2x^{2}-4)z^{2}-(2x^{2}-4)z^{4}-xz^{5}\]
 191
 192
 193 Solve a  \( 6\times 6 \) system of linear equations over  \( Q(x) \) to get
 194 \[
 195 x\cdot \partial _{x}F+(x^{2}-1)\cdot \partial _{x}^{2}F-\Delta _{z}^{2}F=0\]
 196
 197
 198 This is equivalent to the claimed equation  \( (x^{2}-1)\cdot T_{n}^{''}(x)+x\cdot T_{n}^{'}(x)-n^{2}\cdot T_{n}(x)=0 \).
 199
 200 \begin{lyxsectionbibliography}
 201
 202 \item [1] Bruno Haible: D-finite power series in several variables. \em Diploma
 203 thesis, University of Karlsruhe, June 1989. \em Sections 2.12 and
 204 2.15.
 205
 206 \end{lyxsectionbibliography}
 207
 208 \end{document}