include/cl_numtheory.h

   1 // Number theoretic operations.
   2
   3 #ifndef _CL_NUMTHEORY_H
   4 #define _CL_NUMTHEORY_H
   5
   6 #include "cl_number.h"
   7 #include "cl_integer.h"
   8 #include "cl_modinteger.h"
   9 #include "cl_condition.h"
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  11 // jacobi(a,b) returns the Jacobi symbol
  12 //                       (  a  )
  13 //                       ( --- )
  14 //                       (  b  )
  15 // a, b must be integers, b > 0, b odd. The result is 0 iff gcd(a,b) > 1.
  16   extern int jacobi (sint32 a, sint32 b);
  17   extern int jacobi (const cl_I& a, const cl_I& b);
  18
  19 // isprobprime(n), n integer > 0,
  20 // returns true when n is probably prime.
  21 // This is pretty quick, but no caching is done.
  22   extern cl_boolean isprobprime (const cl_I& n);
  23
  24 // nextprobprime(x) returns the smallest probable prime >= x.
  25   extern const cl_I nextprobprime (const cl_R& x);
  26
  27 #if 0
  28 // primitive_root(R) of R = Z/pZ, with p a probable prime,
  29 // returns
  30 //   either a generator of (Z/pZ)^*, assuming p is prime, or
  31 //   a proof that p is not prime, maybe even a non-trivial factor of p.
  32 struct primitive_root_t {
  33         cl_composite_condition* condition;
  34         cl_MI gen;
  35         // Constructors.
  36         primitive_root_t (cl_composite_condition* c) : condition (c) {}
  37         primitive_root_t (const cl_MI& g) : condition (NULL), gen (g) {}
  38 };
  39 extern const primitive_root_t primitive_root (const cl_modint_ring& R);
  40 #endif
  41
  42 // sqrt_mod_p(R,x) where x is an element of R = Z/pZ, with p a probable prime,
  43 // returns
  44 //   either the square roots of x in R, assuming p is prime, or
  45 //   a proof that p is not prime, maybe even a non-trivial factor of p.
  46 struct sqrt_mod_p_t {
  47         cl_composite_condition* condition;
  48         // If no condition:
  49         int solutions; // 0,1,2
  50         cl_I factor; // zero or non-trivial factor of p
  51         cl_MI solution[2]; // max. 2 solutions
  52         // Constructors.
  53         sqrt_mod_p_t () {}
  54         sqrt_mod_p_t (cl_composite_condition* c) : condition (c) {}
  55         sqrt_mod_p_t (int s) : condition (NULL), solutions (s) {}
  56         sqrt_mod_p_t (int s, const cl_MI& x0) : condition (NULL), solutions (s)
  57                 { solution[0] = x0; }
  58         sqrt_mod_p_t (int s, const cl_MI& x0, const cl_MI& x1) : condition (NULL), solutions (s)
  59                 { solution[0] = x0; solution[1] = x1; }
  60 };
  61 extern const sqrt_mod_p_t sqrt_mod_p (const cl_modint_ring& R, const cl_MI& x);
  62
  63 // cornacchia1(d,p) solves x^2 + d*y^2 = p.
  64 // cornacchia4(d,p) solves x^2 + d*y^2 = 4*p.
  65 // d is an integer > 0, p is a probable prime.
  66 // It returns
  67 //   either a nonnegative solution (x,y), if it exists, assuming p is prime, or
  68 //   a proof that p is not prime, maybe even a non-trivial factor of p.
  69 struct cornacchia_t {
  70         cl_composite_condition* condition;
  71         // If no condition:
  72         int solutions; // 0,1
  73         // If solutions=1 and d > 4 (d > 64 for cornacchia4):
  74         // All solutions are (x,y), (-x,y), (x,-y), (-x,-y).
  75         cl_I solution_x; // x >= 0
  76         cl_I solution_y; // y >= 0
  77         // Constructors.
  78         cornacchia_t () {}
  79         cornacchia_t (cl_composite_condition* c) : condition (c) {}
  80         cornacchia_t (int s) : condition (NULL), solutions (s) {}
  81         cornacchia_t (int s, const cl_I& x, const cl_I& y) : condition (NULL), solutions (s), solution_x (x), solution_y (y) {}
  82 };
  83 extern const cornacchia_t cornacchia1 (const cl_I& d, const cl_I& p);
  84 extern const cornacchia_t cornacchia4 (const cl_I& d, const cl_I& p);
  85
  86 #endif /* _CL_NUMTHEORY_H */