13 #include "cln/abort.h"
17 // We observe the following timings in seconds:
18 // Time for dividing a 2*n word number by a n word number:
19 // OS: Linux 2.2, intDsize==32, OS: TRU64/4.0, intDsize==64,
20 // Machine: P-III/450MHz Machine: EV5/300MHz:
21 // n standard Newton standard Newton
22 // 10 0.000010 0.000024 0.000036 0.000058
23 // 30 0.000026 0.000080 0.00012 0.00027
24 // 100 0.00018 0.00048 0.00084 0.0016
25 // 300 0.0013 0.0028 0.0062 0.0090
26 // 1000 0.014 0.019 0.064 0.066 <-(~2200)
27 // 2000 0.058 0.058 <-(~2000) 0.26 0.20
28 // 3000 0.20 0.11 0.57 0.24
29 // 10000 2.3 0.50 6.7 1.2
30 // 30000 24.4 1.2 62.0 2.8
31 // Time for dividing a 3*n word number by a n word number:
32 // OS: Linux 2.2, intDsize==32, OS: TRU64/4.0, intDsize==64,
33 // Machine: P-III/450MHz Machine: EV5/300MHz:
34 // n standard Newton standard Newton
35 // 10 0.000013 0.000040 0.000063 0.00011
36 // 30 0.000046 0.00018 0.00024 0.00062
37 // 100 0.00035 0.0012 0.0016 0.0040
38 // 300 0.0027 0.0071 0.012 0.021
39 // 1000 0.029 0.047 0.13 0.16
40 // 2000 0.12 0.14 <-(~2200) 0.51 0.45 <-(~1600)
41 // 3000 0.40 0.22 1.1 0.52
42 // 10000 4.5 0.76 13.2 2.0
43 // 30000 42.0 2.8 123.0 6.0
44 // Time for dividing m digits by n digits:
45 // OS: Linux 2.2, intDsize==32, OS: TRU64/4.0, intDsize==64,
46 // Machine: P-III/450MHz Machine: EV5/300MHz:
47 // n Newton faster for: Newton faster for:
49 // 600 never 670<m<900 (definitly negligible)
50 // 800 never 850<m<1500
51 // 1000 never 1030<m<2000
52 // 1200 1400<m<1700 1230<m<2700
53 // 1500 1590<m<2500 1530<m<5100, 6600<m (ridge negligible)
54 // 2000 2060<m<3600 2030<m
59 // Break-even-point, should be acceptable for both architectures.
60 // When in doubt, prefer to choose the standard algorithm.
62 static inline cl_boolean cl_recip_suitable (uintL m, uintL n) // m > n
67 return (cl_boolean)((m >= n+50) && (m < 2*n-600));
69 return (cl_boolean)(m >= n+30);
72 // Use the old default values from CLN version <= 1.0.3 as a crude estimate.
73 // They came from the timings for dividing m digits by n digits on an i486/33:
74 // Dividing 2*N digits by N digits: Dividing 3*N digits by N digits:
75 // N standard Newton standard Newton
76 // 10 0.0003 0.0012 0.0006 0.0025
77 // 25 0.0013 0.0044 0.0026 0.0103
78 // 50 0.0047 0.0125 0.0092 0.030
79 // 100 0.017 0.037 0.035 0.089
80 // 250 0.108 0.146 0.215 0.362
81 // 500 0.43 0.44 <-(~550) 0.85 1.10
82 // 1000 1.72 1.32 3.44 3.21 <-(~740)
83 // 2500 11.2 4.1 23.3 7.9
84 // 5000 44.3 9.5 89.0 15.6
85 // 10000 187 20.6 362 33.1
86 // Time for dividing m digits by n digits:
87 // n = 2,3,5,10,25,50,100,250: Newton never faster.
88 // n = 400: Newton faster for m >= 440, m < 600
89 // n = 500: Newton faster for m >= 530, m < 900
90 // n = 600: Newton faster for m >= 630, m < 1250
91 // n = 700: Newton faster for m >= 730, m < 1530
92 // n = 800: Newton faster for m >= 825, m < 2600 or m >= 5300
93 // n = 900: Newton faster for m >= 925, m < 2700 or m >= 3400
94 // n = 1000: Newton faster for m >= 1020
95 // n = 1500: Newton faster for m >= 1520
96 // n = 2000: Newton faster for m >= 2020
97 // n = 2500: Newton faster for m >= 2520
98 // n = 5000: Newton faster for m >= 5020
99 static inline cl_boolean cl_recip_suitable (uintL m, uintL n) // m > n
104 return (cl_boolean)((m >= n+30) && (m < 3*n-600));
106 return (cl_boolean)(m >= n+20);
110 // Dividiert zwei Unsigned Digit sequences durcheinander.
111 // UDS_divide(a_MSDptr,a_len,a_LSDptr, b_MSDptr,b_len,b_LSDptr, &q,&r);
112 // Die UDS a = a_MSDptr/a_len/a_LSDptr (a>=0) wird durch
113 // die UDS b = b_MSDptr/b_len/b_LSDptr (b>=0) dividiert:
114 // a = q * b + r mit 0 <= r < b. Bei b=0 Error.
115 // q der Quotient, r der Rest.
116 // q = q_MSDptr/q_len/q_LSDptr, r = r_MSDptr/r_len/r_LSDptr beides
117 // Normalized Unsigned Digit sequences.
118 // Vorsicht: q_LSDptr <= r_MSDptr,
119 // Vorzeichenerweiterung von r kann q zerstören!
120 // Vorzeichenerweiterung von q ist erlaubt.
121 // a und b werden nicht modifiziert.
124 // erst a und b normalisieren: a=[a[m-1],...,a[0]], b=[b[n-1],...,b[0]]
125 // mit m>=0 und n>0 (Stellensystem der Basis beta=2^intDsize).
126 // Falls m<n, ist q:=0 und r:=a.
127 // Falls m>=n=1, Single-Precision-Division:
130 // {Hier (q[m-1]*beta^(m-1)+...+q[j]*beta^j) * b[0] + r*beta^j =
131 // = a[m-1]*beta^(m-1)+...+a[j]*beta^j und 0<=r<b[0]<beta}
132 // j:=j-1, r:=r*beta+a[j], q[j]:=floor(r/b[0]), r:=r-b[0]*q[j].
133 // Normalisiere [q[m-1],...,q[0]], liefert q.
134 // Falls m>=n>1, Multiple-Precision-Division:
135 // Es gilt a/b < beta^(m-n+1).
136 // s:=intDsize-1-(Nummer des höchsten Bits in b[n-1]), 0<=s<intDsize.
137 // Schiebe a und b um s Bits nach links und kopiere sie dabei. r:=a.
138 // r=[r[m],...,r[0]], b=[b[n-1],...,b[0]] mit b[n-1]>=beta/2.
139 // Für j=m-n,...,0: {Hier 0 <= r < b*beta^(j+1).}
141 // q* := floor((r[j+n]*beta+r[j+n-1])/b[n-1]).
142 // Bei Überlauf (q* >= beta) setze q* := beta-1.
143 // Berechne c2 := ((r[j+n]*beta+r[j+n-1]) - q* * b[n-1])*beta + r[j+n-2]
144 // und c3 := b[n-2] * q*.
145 // {Es ist 0 <= c2 < 2*beta^2, sogar 0 <= c2 < beta^2 falls kein
146 // Überlauf aufgetreten war. Ferner 0 <= c3 < beta^2.
147 // Bei Überlauf und r[j+n]*beta+r[j+n-1] - q* * b[n-1] >= beta,
148 // das heißt c2 >= beta^2, kann man die nächste Abfrage überspringen.}
149 // Solange c3 > c2, {hier 0 <= c2 < c3 < beta^2} setze
150 // q* := q* - 1, c2 := c2 + b[n-1]*beta, c3 := c3 - b[n-2].
152 // Setze r := r - b * q* * beta^j, im einzelnen:
153 // [r[n+j],...,r[j]] := [r[n+j],...,r[j]] - q* * [b[n-1],...,b[0]].
154 // also: u:=0, for i:=0 to n-1 do
155 // u := u + q* * b[i],
156 // r[j+i]:=r[j+i]-(u mod beta) (+ beta, falls Carry),
157 // u:=u div beta (+ 1, falls bei der Subtraktion Carry)
159 // {Da stets u = (q* * [b[i-1],...,b[0]] div beta^i) + 1
160 // < q* + 1 <= beta, läuft der Übertrag u nicht über.}
161 // Tritt dabei ein negativer Übertrag auf, so setze q* := q* - 1
162 // und [r[n+j],...,r[j]] := [r[n+j],...,r[j]] + [0,b[n-1],...,b[0]].
164 // Normalisiere [q[m-n],..,q[0]] und erhalte den Quotienten q,
165 // Schiebe [r[n-1],...,r[0]] um s Bits nach rechts, normalisiere und
166 // erhalte den Rest r.
167 // Dabei kann q[j] auf dem Platz von r[n+j] liegen.
168 void cl_UDS_divide (const uintD* a_MSDptr, uintC a_len, const uintD* a_LSDptr,
169 const uintD* b_MSDptr, uintC b_len, const uintD* b_LSDptr,
170 uintD* roomptr, // ab roomptr kommen a_len+1 freie Digits
172 { // a normalisieren (a_MSDptr erhöhen, a_len erniedrigen):
173 while ((a_len>0) && (mspref(a_MSDptr,0)==0)) { msshrink(a_MSDptr); a_len--; }
174 // b normalisieren (b_MSDptr erhöhen, b_len erniedrigen):
176 { if (b_len==0) { cl_error_division_by_0(); }
177 if (mspref(b_MSDptr,0)==0) { msshrink(b_MSDptr); b_len--; }
180 // jetzt m=a_len >=0 und n=b_len >0.
182 // m<n: Trivialfall, q=0, r:= Kopie von a.
183 { var uintD* r_MSDptr = roomptr;
184 var uintD* r_LSDptr = roomptr mspop a_len;
185 // Speicheraufbau: r_MSDptr/0/r_MSDptr/a_len/r_LSDptr
187 copy_loop_lsp(a_LSDptr,r_LSDptr,a_len);
188 q_->MSDptr = r_MSDptr; q_->len = 0; q_->LSDptr = r_MSDptr; // q = 0, eine NUDS
189 r_->MSDptr = r_MSDptr; r_->len = a_len; r_->LSDptr = r_LSDptr; // r = Kopie von a, eine NUDS
193 // n=1: Single-Precision-Division
194 { // beta^(m-1) <= a < beta^m ==> beta^(m-2) <= a/b < beta^m
195 var uintD* q_MSDptr = roomptr;
196 var uintD* q_LSDptr = q_MSDptr mspop a_len;
197 var uintD* r_MSDptr = q_LSDptr;
198 var uintD* r_LSDptr = r_MSDptr mspop 1;
199 // Speicheraufbau: q_MSDptr/a_len/q_LSDptr r_MSDptr/1/r_LSDptr
201 {var uintD rest = divucopy_loop_msp(mspref(b_MSDptr,0),a_MSDptr,q_MSDptr,a_len); // Division durch b[0]
204 { mspref(r_MSDptr,0) = rest; r_len=1; } // Rest als r ablegen
206 { r_MSDptr = r_LSDptr; r_len=0; } // Rest auf 0 normalisieren
207 if (mspref(q_MSDptr,0)==0)
208 { msshrink(q_MSDptr); a_len--; } // q normalisieren
209 q_->MSDptr = q_MSDptr; q_->len = a_len; q_->LSDptr = q_LSDptr; // q ablegen
210 r_->MSDptr = r_MSDptr; r_->len = r_len; r_->LSDptr = r_LSDptr; // r ablegen
214 // n>1: Multiple-Precision-Division
215 { // beta^(m-1) <= a < beta^m, beta^(n-1) <= b < beta^n ==>
216 // beta^(m-n-1) <= a/b < beta^(m-n+1).
220 { var uintD msd = mspref(b_MSDptr,0); // b[n-1]
223 while ((sintD)msd >= 0) { msd = msd<<1; s++; }
224 #else // ein wenig effizienter, Abfrage auf s=0 vorwegnehmen
226 { s = 0; goto shift_ok; }
228 { integerlengthD(msd, s = intDsize - ); goto shift; }
231 // 0 <= s < intDsize.
232 // Kopiere b und schiebe es dabei um s Bits nach links:
235 { var uintD* new_b_MSDptr;
236 var uintD* new_b_LSDptr;
237 num_stack_alloc(b_len,new_b_MSDptr=,new_b_LSDptr=);
238 shiftleftcopy_loop_lsp(b_LSDptr,new_b_LSDptr,b_len,s);
239 b_MSDptr = new_b_MSDptr; b_LSDptr = new_b_LSDptr;
242 // Wieder b = b_MSDptr/b_len/b_LSDptr.
243 // Kopiere a und schiebe es dabei um s Bits nach links, erhalte r:
244 {var uintD* r_MSDptr = roomptr;
245 var uintD* r_LSDptr = roomptr mspop (a_len+1);
246 // Speicheraufbau: r_MSDptr/ a_len+1 /r_LSDptr
248 // später: q_MSDptr/a_len-b_len+1/r_MSDptr/b_len/r_LSDptr
251 { copy_loop_lsp(a_LSDptr,r_LSDptr,a_len); mspref(r_MSDptr,0) = 0; }
253 { mspref(r_MSDptr,0) = shiftleftcopy_loop_lsp(a_LSDptr,r_LSDptr,a_len,s); }
254 // Nun r = r_MSDptr/a_len+1/r_LSDptr.
255 var uintC j = a_len-b_len; // m-n
256 var uintD* q_MSDptr = r_MSDptr;
257 var uintC q_len = j+1; // q wird m-n+1 Digits haben
258 if (cl_recip_suitable(a_len,b_len))
259 { // Bestimme Kehrwert c von b.
262 num_stack_alloc(j+3,c_MSDptr=,c_LSDptr=);
263 cl_UDS_recip(b_MSDptr,b_len,c_MSDptr,j+1);
264 // c hat j+3 Digits, | beta^(m+2)/b - c | < beta.
265 // Mit a' = floor(a/beta^n) multiplizieren, liefert d':
267 UDS_UDS_mul_UDS(j+1,r_MSDptr mspop (j+1), j+3,c_MSDptr mspop (j+3),
269 // d' has 2*j+4 digits, d := floor(d'/beta^(j+2)) has j+2 digits.
270 // | beta^(m+2)/b - c | < beta ==> (since a < beta^(m+1))
271 // | beta^(m+2)*a/b - a*c | < beta^(m+2),
272 // 0 <= a - a'*beta^n < beta^n ==> (since c <= 2*beta^(j+2))
273 // 0 <= a*c - a'*c*beta^n < 2*beta^(m+2) ==>
274 // -beta^(m+2) < beta^(m+2)*a/b - a'*c*beta^n < 3*beta^(m+2) ==>
275 // -1 < a/b - a'*c*beta^(-j-2) < 3 ==>
276 // -1 < a/b - d'*beta^(-j-2) < 3,
277 // -1 < d'*beta^(-j-2) - d <= 0 ==>
278 // -2 < a/b - d < 3 ==>
279 // -2 <= q - d < 3 ==> |q-d| <= 2.
280 var uintD* d_LSDptr = d_MSDptr mspop (j+2);
281 // Zur Bestimmung des Restes wieder mit b multiplizieren:
284 UDS_UDS_mul_UDS(j+2,d_LSDptr, b_len,b_LSDptr, p_MSDptr=,,p_LSDptr=);
285 // d ist um höchstens 2 zu groß, muß also evtl. zweimal um 1
286 // decrementieren, bis das Produkt <= a wird.
287 if ((mspref(p_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(p_MSDptr mspop 1,r_MSDptr,a_len+1) > 0))
288 { dec_loop_lsp(d_LSDptr,j+2);
289 if (subfrom_loop_lsp(b_LSDptr,p_LSDptr,b_len))
290 dec_loop_lsp(p_LSDptr lspop b_len,j+2);
291 if ((mspref(p_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(p_MSDptr mspop 1,r_MSDptr,a_len+1) > 0))
292 { dec_loop_lsp(d_LSDptr,j+2);
293 if (subfrom_loop_lsp(b_LSDptr,p_LSDptr,b_len))
294 dec_loop_lsp(p_LSDptr lspop b_len,j+2);
295 if ((mspref(p_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(p_MSDptr mspop 1,r_MSDptr,a_len+1) > 0))
299 subfrom_loop_lsp(p_LSDptr,r_LSDptr,a_len+1);
300 if (test_loop_msp(r_MSDptr,j)) cl_abort();
301 r_MSDptr = r_LSDptr lspop b_len; // = r_MSDptr mspop (j+1);
302 // d ist um höchstens 2 zu klein, muß also evtl. zweimal um 1
303 // incrementieren, bis der Rest < b wird.
304 if ((lspref(r_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(r_MSDptr,b_MSDptr,b_len) >= 0))
305 { inc_loop_lsp(d_LSDptr,j+2);
306 if (subfrom_loop_lsp(b_LSDptr,r_LSDptr,b_len))
307 lspref(r_LSDptr,b_len) -= 1;
308 if ((lspref(r_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(r_MSDptr,b_MSDptr,b_len) >= 0))
309 { inc_loop_lsp(d_LSDptr,j+2);
310 if (subfrom_loop_lsp(b_LSDptr,r_LSDptr,b_len))
311 lspref(r_LSDptr,b_len) -= 1;
312 if ((lspref(r_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(r_MSDptr,b_MSDptr,b_len) >= 0))
315 // r ist fertig, q := d.
316 if (mspref(d_MSDptr,0) > 0) cl_abort();
317 q_len = j+1; copy_loop_msp(d_MSDptr mspop 1,q_MSDptr,q_len);
320 { var uintD* r_ptr = r_LSDptr lspop j; // Pointer oberhalb von r[j]
322 var uintD b_msd = mspref(b_MSDptr,0); // b[n-1]
323 var uintD b_2msd = mspref(b_MSDptr,1); // b[n-2]
325 var uintDD b_msdd = highlowDD(b_msd,b_2msd); // b[n-1]*beta+b[n-2]
327 // Divisions-Schleife: (wird m-n+1 mal durchlaufen)
328 // j = Herabzähler, b_MSDptr/b_len/b_LSDptr = [b[n-1],...,b[0]], b_len=n,
329 // r_MSDptr = Pointer auf r[n+j] = Pointer auf q[j],
330 // r_ptr = Pointer oberhalb von r[j].
331 do { var uintD q_stern;
333 if (mspref(r_MSDptr,0) < b_msd) // r[j+n] < b[n-1] ?
334 { // Dividiere r[j+n]*beta+r[j+n-1] durch b[n-1], ohne Überlauf:
336 divuD(highlowDD(mspref(r_MSDptr,0),mspref(r_MSDptr,1)),b_msd, q_stern=,c1=);
338 divuD(mspref(r_MSDptr,0),mspref(r_MSDptr,1),b_msd, q_stern=,c1=);
342 { // Überlauf, also r[j+n]*beta+r[j+n-1] >= beta*b[n-1]
343 q_stern = bitm(intDsize)-1; // q* = beta-1
344 // Teste ob r[j+n]*beta+r[j+n-1] - (beta-1)*b[n-1] >= beta
345 // <==> r[j+n]*beta+r[j+n-1] + b[n-1] >= beta*b[n-1]+beta
346 // <==> b[n-1] < floor((r[j+n]*beta+r[j+n-1]+b[n-1])/beta) {<= beta !} ist.
347 // Wenn ja, direkt zur Subtraktionschleife.
348 // (Andernfalls ist r[j+n]*beta+r[j+n-1] - (beta-1)*b[n-1] < beta
349 // <==> floor((r[j+n]*beta+r[j+n-1]+b[n-1])/beta) = b[n-1] ).
350 if ((mspref(r_MSDptr,0) > b_msd) || ((c1 = mspref(r_MSDptr,1)+b_msd) < b_msd))
351 // r[j+n] >= b[n-1]+1 oder
352 // r[j+n] = b[n-1] und Addition r[j+n-1]+b[n-1] gibt Carry ?
353 { goto subtract; } // ja -> direkt in die Subtraktion
356 // c1 = (r[j+n]*beta+r[j+n-1]) - q* * b[n-1] (>=0, <beta).
358 { var uintDD c2 = highlowDD(c1,mspref(r_MSDptr,2)); // c1*beta+r[j+n-2]
359 var uintDD c3 = muluD(b_2msd,q_stern); // b[n-2] * q*
360 // Solange c2 < c3, c2 erhöhen, c3 erniedrigen:
361 // Rechne dabei mit c3-c2:
362 // solange >0, um b[n-1]*beta+b[n-2] erniedrigen.
363 // Dies kann wegen b[n-1]*beta+b[n-2] >= beta^2/2
364 // höchstens zwei mal auftreten.
366 { q_stern = q_stern-1; // q* := q* - 1
368 { q_stern = q_stern-1; } // q* := q* - 1
371 // Wie oben, nur mit zweigeteilten c2=[c2hi|c2lo] und c3=[c3hi|c3lo]:
373 { var uintD c2lo = mspref(r_MSDptr,2); // c2hi*beta+c2lo = c1*beta+r[j+n-2]
376 muluD(b_2msd,q_stern, c3hi=,c3lo=); // c3hi*beta+c3lo = b[n-2] * q*
377 if ((c3hi > c2hi) || ((c3hi == c2hi) && (c3lo > c2lo)))
378 { q_stern = q_stern-1; // q* := q* - 1
379 c3hi -= c2hi; if (c3lo < c2lo) { c3hi--; }; c3lo -= c2lo; // c3 := c3-c2
380 if ((c3hi > b_msd) || ((c3hi == b_msd) && (c3lo > b_2msd)))
381 { q_stern = q_stern-1; } // q* := q* - 1
387 { // Subtraktionsschleife: r := r - b * q* * beta^j
388 var uintD carry = mulusub_loop_lsp(q_stern,b_LSDptr,r_ptr,b_len);
389 // Noch r_ptr[-b_len-1] -= carry, d.h. r_MSDptr[0] -= carry
390 // durchführen und danach r_MSDptr[0] vergessen:
391 if (carry > mspref(r_MSDptr,0))
392 // Subtraktion ergab Übertrag
393 { q_stern = q_stern-1; // q* := q* - 1
394 addto_loop_lsp(b_LSDptr,r_ptr,b_len); // Additionsschleife
395 // r[n+j] samt Carry kann vergessen werden...
397 // Berechnung von q* ist fertig.
398 msprefnext(r_MSDptr) = q_stern; // als q[j] ablegen
399 r_ptr = r_ptr mspop 1;
403 // Nun ist q = [q[m-n],..,q[0]] = q_MSDptr/q_len/r_MSDptr
404 // und r = [r[n-1],...,r[0]] = r_MSDptr/b_len/r_LSDptr.
405 // q normalisieren und ablegen:
406 if (mspref(q_MSDptr,0)==0)
407 { msshrink(q_MSDptr); q_len--; }
408 q_->MSDptr = q_MSDptr; q_->len = q_len; q_->LSDptr = r_MSDptr;
409 // Schiebe [r[n-1],...,r[0]] um s Bits nach rechts:
411 { shiftright_loop_msp(r_MSDptr,b_len,s); }
412 // r normalisieren und ablegen:
413 while ((b_len>0) && (mspref(r_MSDptr,0)==0))
414 { msshrink(r_MSDptr); b_len--; }
415 r_->MSDptr = r_MSDptr; r_->len = b_len; r_->LSDptr = r_LSDptr;
419 // Bit complexity (N = a_len): O(M(N)).