1 static void mulu_karatsuba (const uintD* sourceptr1, uintC len1,
2 const uintD* sourceptr2, uintC len2,
4 // Karatsuba-Multiplikation
5 // Prinzip: (x1*b^k+x0) * (y1*b^k+y0)
6 // = x1*y1 * b^2k + ((x1+x0)*(y1+y0)-x1*y1-x0*y0) * b^k + x0*y0
7 // Methode 1 (Collins/Loos, Degel):
8 // source2 wird in floor(len2/len1) einzelne UDS mit je einer
9 // Länge len3 (len1 <= len3 < 2*len1) unterteilt,
10 // jeweils k=floor(len3/2).
11 // Methode 2 (Haible):
12 // source2 wird in ceiling(len2/len1) einzelne UDS mit je einer
13 // Länge len3 (0 < len3 <= len1) unterteilt, jeweils k=floor(len1/2).
14 // Aufwand für die hinteren Einzelteile:
15 // bei beiden Methoden jeweils 3*len1^2.
16 // Aufwand für das vorderste Teil (alles, falls len1 <= len2 < 2*len1)
17 // mit r = len1, s = (len2 mod len1) + len1 (>= len1, < 2*len1):
21 // (r-s/2)*s/2 + s/2*s/2 + s/2*s/2 = r*s/2 + s^2/4 .
25 // (s-r)*r + r/2*r/2 + r/2*r/2 + r/2*r/2 = r*s - r^2/4 .
26 // Wegen (r*s/2 + s^2/4) - (r*s - r^2/4) = (r-s)^2/4 >= 0
27 // ist Methode 2 günstiger.
28 // Denkfehler! Dies gilt - wenn überhaupt - nur knapp oberhalb des
30 // Im allgemeinen ist der Multiplikationsaufwand für zwei Zahlen der
31 // Längen u bzw. v nämlich gegeben durch min(u,v)^c * max(u,v),
32 // wobei c = log3/log2 - 1 = 0.585...
33 // Dadurch wird der Aufwand in Abhängigkeit des Parameters t = k,
34 // r/2 <= t <= s/2 (der einzig sinnvolle Bereich), zu
35 // (r-t)^c*(s-t) + t^c*(s-t) + t^(1+c).
36 // Dessen Optimum liegt (im Bereich r <= s <= 2*r)
37 // - im klassischen Fall c=1 tatsächlich stets bei t=r/2 [Methode 2],
38 // - im Karatsuba-Fall c=0.6 aber offenbar bei t=s/2 [Methode 1]
39 // oder ganz knapp darunter.
40 // Auch erweist sich Methode 1 im Experiment als effizienter.
41 // Daher implementieren wir Methode 1 :
42 { // Es ist 2 <= len1 <= len2.
43 // Spezialfall Quadrieren abfangen (häufig genug, daß sich das lohnt):
44 if (sourceptr1 == sourceptr2)
46 { mulu_karatsuba_square(sourceptr1,len1,destptr); return; }
47 var bool first_part = true; // Flag, ob jetzt das erste Teilprodukt berechnet wird
49 { CL_SMALL_ALLOCA_STACK;
50 // Teilprodukte von jeweils len1 mal len1 Digits bilden:
51 var uintC k_lo = floor(len1,2); // Länge der Low-Teile: floor(len1/2) >0
52 var uintC k_hi = len1 - k_lo; // Länge der High-Teile: ceiling(len1/2) >0
53 // Es gilt k_lo <= k_hi <= len1, k_lo + k_hi = len1.
54 // Summe x1+x0 berechnen:
55 var uintD* sum1_MSDptr;
56 var uintC sum1_len = k_hi; // = max(k_lo,k_hi)
57 var uintD* sum1_LSDptr;
58 num_stack_small_alloc_1(sum1_len,sum1_MSDptr=,sum1_LSDptr=);
59 {var uintD carry = // Hauptteile von x1 und x0 addieren:
60 add_loop_lsp(sourceptr1 lspop k_lo,sourceptr1,sum1_LSDptr,k_lo);
62 // noch k_hi-k_lo = 1 Digits abzulegen
63 { mspref(sum1_MSDptr,0) = lspref(sourceptr1,len1-1); // = lspref(sourceptr1,2*k_lo)
64 if (!(carry==0)) { if (++(mspref(sum1_MSDptr,0)) == 0) carry=1; else carry=0; }
66 if (carry) { lsprefnext(sum1_MSDptr) = 1; sum1_len++; }
68 { // Platz für Summe y1+y0 belegen:
69 var uintC sum2_maxlen = k_hi+1;
70 var uintD* sum2_LSDptr;
71 num_stack_small_alloc(sum2_maxlen,,sum2_LSDptr=);
72 // Platz für Produkte x0*y0, x1*y1 belegen:
73 { var uintD* prod_MSDptr;
74 var uintD* prod_LSDptr;
75 var uintD* prodhi_LSDptr;
76 num_stack_small_alloc(2*len1,prod_MSDptr=,prod_LSDptr=);
77 prodhi_LSDptr = prod_LSDptr lspop 2*k_lo;
78 // prod_MSDptr/2*len1/prod_LSDptr wird zuerst die beiden
79 // Produkte x1*y1 in prod_MSDptr/2*k_hi/prodhi_LSDptr
80 // und x0*y0 in prodhi_LSDptr/2*k_lo/prod_LSDptr,
81 // dann das Produkt (b^k*x1+x0)*(b^k*y1+y0) enthalten.
82 // Platz fürs Produkt (x1+x0)*(y1+y0) belegen:
83 {var uintD* prodmid_MSDptr;
84 var uintD* prodmid_LSDptr;
85 num_stack_small_alloc(sum1_len+sum2_maxlen,prodmid_MSDptr=,prodmid_LSDptr=);
86 // Schleife über die hinteren Einzelteile:
87 do { // Produkt x0*y0 berechnen:
88 cl_UDS_mul(sourceptr1,k_lo,sourceptr2,k_lo,prod_LSDptr);
89 // Produkt x1*y1 berechnen:
90 cl_UDS_mul(sourceptr1 lspop k_lo,k_hi,sourceptr2 lspop k_lo,k_hi,prodhi_LSDptr);
91 // Summe y1+y0 berechnen:
92 {var uintC sum2_len = k_hi; // = max(k_lo,k_hi)
93 var uintD* sum2_MSDptr = sum2_LSDptr lspop sum2_len;
94 {var uintD carry = // Hauptteile von y1 und y0 addieren:
95 add_loop_lsp(sourceptr2 lspop k_lo,sourceptr2,sum2_LSDptr,k_lo);
97 // noch k_hi-k_lo = 1 Digits abzulegen
98 { mspref(sum2_MSDptr,0) = lspref(sourceptr2,len1-1); // = lspref(sourceptr2,2*k_lo)
99 if (!(carry==0)) { if (++(mspref(sum2_MSDptr,0)) == 0) carry=1; else carry=0; }
101 if (carry) { lsprefnext(sum2_MSDptr) = 1; sum2_len++; }
103 // Produkt (x1+x0)*(y1+y0) berechnen:
104 cl_UDS_mul(sum1_LSDptr,sum1_len,sum2_LSDptr,sum2_len,prodmid_LSDptr);
105 // Das Produkt beansprucht 2*k_hi + (0 oder 1) <= sum1_len + sum2_len Digits.
106 {var uintC prodmid_len = sum1_len+sum2_len;
107 // Davon x1*y1 abziehen:
109 subfrom_loop_lsp(prodhi_LSDptr,prodmid_LSDptr,2*k_hi);
110 // Falls Carry: Produkt beansprucht 2*k_hi+1 Digits.
111 // Carry um maximal 1 Digit weitertragen:
112 if (!(carry==0)) { lspref(prodmid_LSDptr,2*k_hi) -= 1; }
114 // Und x0*y0 abziehen:
116 subfrom_loop_lsp(prod_LSDptr,prodmid_LSDptr,2*k_lo);
117 // Carry um maximal prodmid_len-2*k_lo Digits weitertragen:
119 { dec_loop_lsp(prodmid_LSDptr lspop 2*k_lo,prodmid_len-2*k_lo); }
121 // prodmid_LSDptr[-prodmid_len..-1] enthält nun x0*y1+x1*y0.
122 // Dies wird zu prod = x1*y1*b^(2*k) + x0*y0 addiert:
124 addto_loop_lsp(prodmid_LSDptr,prod_LSDptr lspop k_lo,prodmid_len);
125 // (Benutze dabei k_lo+prodmid_len <= k_lo+2*(k_hi+1) = 2*len1-k_lo+2 <= 2*len1 .)
127 { inc_loop_lsp(prod_LSDptr lspop (k_lo+prodmid_len),2*len1-(k_lo+prodmid_len)); }
129 // Das Teilprodukt zum Gesamtprodukt addieren:
131 { copy_loop_lsp(prod_LSDptr,destptr,2*len1);
132 destptr = destptr lspop len1;
137 addto_loop_lsp(prod_LSDptr,destptr,len1);
138 destptr = destptr lspop len1;
139 copy_loop_lsp(prod_LSDptr lspop len1,destptr,len1);
140 if (!(carry==0)) { inc_loop_lsp(destptr,len1); }
142 sourceptr2 = sourceptr2 lspop len1; len2 -= len1;
144 while (len2 >= 2*len1);
147 // Nun ist len1 <= len2 < 2*len1.
148 // letztes Teilprodukt von len1 mal len2 Digits bilden:
149 {CL_SMALL_ALLOCA_STACK;
150 var uintD* prod_MSDptr;
151 var uintC prod_len = len1+len2;
152 var uintD* prod_LSDptr;
153 num_stack_small_alloc(prod_len,prod_MSDptr=,prod_LSDptr=);
154 { var uintC k_hi = floor(len2,2); // Länge der High-Teile: floor(len2/2) >0
155 var uintC k_lo = len2 - k_hi; // Länge der Low-Teile: ceiling(len2/2) >0
156 // Es gilt k_hi <= k_lo <= len1 <= len2, k_lo + k_hi = len2.
157 var uintC x1_len = len1-k_lo; // <= len2-k_lo = k_hi <= k_lo
158 // Summe x1+x0 berechnen:
159 var uintD* sum1_MSDptr;
160 var uintC sum1_len = k_lo; // = max(k_lo,k_hi)
161 var uintD* sum1_LSDptr;
162 num_stack_small_alloc_1(sum1_len,sum1_MSDptr=,sum1_LSDptr=);
163 {var uintD carry = // x1 und unteren Teil von x0 addieren:
164 add_loop_lsp(sourceptr1 lspop k_lo,sourceptr1,sum1_LSDptr,x1_len);
165 // und den oberen Teil von x0 dazu:
166 copy_loop_lsp(sourceptr1 lspop x1_len,sum1_LSDptr lspop x1_len,k_lo-x1_len);
168 { carry = inc_loop_lsp(sum1_LSDptr lspop x1_len,k_lo-x1_len);
169 if (carry) { lsprefnext(sum1_MSDptr) = 1; sum1_len++; }
172 {// Summe y1+y0 berechnen:
173 var uintD* sum2_MSDptr;
174 var uintC sum2_len = k_lo; // = max(k_lo,k_hi)
175 var uintD* sum2_LSDptr;
176 num_stack_small_alloc_1(sum2_len,sum2_MSDptr=,sum2_LSDptr=);
177 {var uintD carry = // Hauptteile von y1 und y0 addieren:
178 add_loop_lsp(sourceptr2 lspop k_lo,sourceptr2,sum2_LSDptr,k_hi);
180 // noch k_lo-k_hi = 1 Digits abzulegen
181 { mspref(sum2_MSDptr,0) = lspref(sourceptr2,k_lo-1); // = lspref(sourceptr2,k_hi)
182 if (!(carry==0)) { if (++(mspref(sum2_MSDptr,0)) == 0) carry=1; else carry=0; }
184 if (carry) { lsprefnext(sum2_MSDptr) = 1; sum2_len++; }
186 // Platz für Produkte x0*y0, x1*y1:
187 { var uintC prodhi_len = x1_len+k_hi;
188 var uintD* prodhi_LSDptr = prod_LSDptr lspop 2*k_lo;
189 // prod_MSDptr/len1+len2/prod_LSDptr wird zuerst die beiden
190 // Produkte x1*y1 in prod_MSDptr/x1_len+k_hi/prodhi_LSDptr
191 // und x0*y0 in prodhi_LSDptr/2*k_lo/prod_LSDptr,
192 // dann das Produkt (b^k*x1+x0)*(b^k*y1+y0) enthalten.
193 // Platz fürs Produkt (x1+x0)*(y1+y0) belegen:
194 {var uintD* prodmid_MSDptr;
195 var uintC prodmid_len = sum1_len+sum2_len;
196 var uintD* prodmid_LSDptr;
197 num_stack_small_alloc(prodmid_len,prodmid_MSDptr=,prodmid_LSDptr=);
198 // Produkt (x1+x0)*(y1+y0) berechnen:
199 cl_UDS_mul(sum1_LSDptr,sum1_len,sum2_LSDptr,sum2_len,prodmid_LSDptr);
200 // Das Produkt beansprucht 2*k_lo + (0 oder 1) <= sum1_len + sum2_len = prodmid_len Digits.
201 // Produkt x0*y0 berechnen:
202 cl_UDS_mul(sourceptr1,k_lo,sourceptr2,k_lo,prod_LSDptr);
203 // Produkt x1*y1 berechnen:
205 { cl_UDS_mul(sourceptr1 lspop k_lo,x1_len,sourceptr2 lspop k_lo,k_hi,prodhi_LSDptr);
206 // Und x1*y1 abziehen:
208 subfrom_loop_lsp(prodhi_LSDptr,prodmid_LSDptr,prodhi_len);
209 // Carry um maximal prodmid_len-prodhi_len Digits weitertragen:
211 { dec_loop_lsp(prodmid_LSDptr lspop prodhi_len,prodmid_len-prodhi_len); }
214 // Produkt x1*y1=0, nichts abzuziehen
215 { clear_loop_lsp(prodhi_LSDptr,prodhi_len); }
216 // Und x0*y0 abziehen:
218 subfrom_loop_lsp(prod_LSDptr,prodmid_LSDptr,2*k_lo);
219 // Falls Carry: Produkt beansprucht 2*k_lo+1 Digits.
220 // Carry um maximal 1 Digit weitertragen:
221 if (!(carry==0)) { lspref(prodmid_LSDptr,2*k_lo) -= 1; }
223 // prodmid_LSDptr[-prodmid_len..-1] enthält nun x0*y1+x1*y0.
224 // Dies ist < b^k_lo * b^k_hi + b^x1_len * b^k_lo
225 // = b^len2 + b^len1 <= 2 * b^len2,
226 // paßt also in len2+1 Digits.
227 // Im Fall x1_len=0 ist es sogar < b^k_lo * b^k_hi = b^len2,
228 // es paßt also in len2 Digits.
229 // prodmid_len, wenn möglich, um maximal 2 verkleinern:
230 // (benutzt prodmid_len >= 2*k_lo >= len2 >= 2)
231 if (mspref(prodmid_MSDptr,0)==0)
233 if (mspref(prodmid_MSDptr,1)==0) { prodmid_len--; }
235 // Nun ist k_lo+prodmid_len <= len1+len2 .
236 // (Denn es war prodmid_len = sum1_len+sum2_len <= 2*(k_lo+1)
237 // <= len2+3, und nach 2-maliger Verkleinerung jedenfalls
238 // prodmid_len <= len2+1. Im Falle k_lo < len1 also
239 // k_lo + prodmid_len <= (len1-1)+(len2+1) = len1+len2.
240 // Im Falle k_lo = len1 aber ist x1_len=0, sum1_len = k_lo, also
241 // war prodmid_len = sum1_len+sum2_len <= 2*k_lo+1 <= len2+2,
242 // nach 2-maliger Verkleinerung jedenfalls prodmid_len <= len2.)
243 // prodmid*b^k = (x0*y1+x1*y0)*b^k zu prod = x1*y1*b^(2*k) + x0*y0 addieren:
245 addto_loop_lsp(prodmid_LSDptr,prod_LSDptr lspop k_lo,prodmid_len);
247 { inc_loop_lsp(prod_LSDptr lspop (k_lo+prodmid_len),prod_len-(k_lo+prodmid_len)); }
249 // Das Teilprodukt zum Gesamtprodukt addieren:
251 { copy_loop_lsp(prod_LSDptr,destptr,prod_len); }
254 addto_loop_lsp(prod_LSDptr,destptr,len1);
255 destptr = destptr lspop len1;
256 copy_loop_lsp(prod_LSDptr lspop len1,destptr,len2);
257 if (!(carry==0)) { inc_loop_lsp(destptr,len2); }