src/float/output/cl_F_dprint.cc

   1 // print_float().
   2
   3 // General includes.
   4 #include "cl_sysdep.h"
   5
   6 // Specification.
   7 #include "cl_float_io.h"
   8
   9
  10 // Implementation.
  11
  12 // Michael Stoll 10.2.1990 - 26.3.1990
  13 // Bruno Haible 8.9.1990 - 10.9.1990
  14
  15 // Grundgedanken:
  16 // Jede Real-Zahl /= 0 repräsentiert ein (offenes) Intervall. Es wird die-
  17 // jenige Dezimalzahl mit möglichst wenig Stellen ausgegeben, die in diesem
  18 // Intervall liegt.
  19 // Um auch große Exponenten zu behandeln, werden Zweier- in Zehnerpotenzen
  20 // erst einmal näherungsweise umgerechnet. Nötigenfalls wird die Rechen-
  21 // genauigkeit erhöht. Hierbei wird von den Long-Floats beliebiger
  22 // Genauigkeit Gebrauch gemacht.
  23
  24 // Stützt sich auf:
  25 // cl_ln2(digits) liefert ln(2) mit mindestens digits Mantissenbits.
  26 // cl_ln10(digits) liefert ln(10) mit mindestens digits Mantissenbits.
  27 // cl_decimal_string(integer) liefert zu einem Integer >0
  28 //   einen String mit seiner Dezimaldarstellung.
  29 // (substring string start [end]) wie subseq, jedoch für Strings schneller.
  30
  31 CL_REQUIRE(cl_F_ln2_var)
  32 CL_REQUIRE(cl_F_ln10_var)
  33 #include <string.h>
  34 #include "cl_output.h"
  35 #include "cl_sstring.h"
  36 #include "cl_float.h"
  37 #include "cl_F.h"
  38 #include "cl_LF.h"
  39 #include "cl_F_tran.h"
  40 #include "cl_rational.h"
  41 #include "cl_integer.h"
  42 #include "cl_integer_io.h"
  43 #include "cl_I.h"
  44
  45 // Hauptfunktion zur Umwandlung von Floats ins Dezimalsystem:
  46 // Zu einem Float x werden ein String as und drei Integers k,e,s
  47 // berechnet mit folgenden Eigenschaften:
  48 // s = sign(x).
  49 // Falls x/=0, betrachte |x| statt x. Also oBdA x>0.
  50 //   Seien x1 und x2 die nächstkleinere bzw. die nächstgrößere Zahl zu x
  51 //   vom selben Floating-Point-Format. Die Zahl x repräsentiert somit das
  52 //   offene Intervall von (x+x1)/2 bis (x+x2)/2.
  53 //   a ist ein Integer >0, mit genau k Dezimalstellen (k>=1), und es gilt
  54 //   (x+x1)/2 < a*10^(-k+e) < (x+x2)/2 .
  55 //   Dabei ist k minimal, also a nicht durch 10 teilbar.
  56 // Falls x=0: a=0, k=1, e=0.
  57 // as ist die Ziffernfolge von a, der Länge k.
  58
  59 // typedef
  60 struct cl_decimal_decoded_float {
  61         char * a;
  62         uintL k;
  63         cl_I e;
  64         cl_I s;
  65 // Constructor.
  66         cl_decimal_decoded_float (char * ap, uintL kp, const cl_I& ep, const cl_I& sp) : a(ap), k(kp), e(ep), s(sp) {}
  67 };
  68
  69 static const cl_decimal_decoded_float decode_float_decimal (const cl_F& x)
  70 {
  71   var cl_idecoded_float x_idecoded = integer_decode_float(x);
  72   var cl_I& binmant = x_idecoded.mantissa;
  73   var cl_I& binexpo = x_idecoded.exponent;
  74   var cl_I& sign = x_idecoded.sign;
  75   if (eq(binmant,0)) // x=0 ?
  76     // a=0, k=1, e=0, s=0
  77     return cl_decimal_decoded_float(cl_sstring("0",1), 1, 0, 0);
  78   // x/=0, also ist sign das Vorzeichen von x und
  79   // |x| = 2^binexpo * float(binmant,x) . Ab jetzt oBdA x>0.
  80   // Also x = 2^binexpo * float(binmant,x) .
  81   var uintL l = integer_length(binmant); // Anzahl der Bits von binmant, >=3
  82   var cl_I binmant2 = ash(binmant,1); // 2*binmant
  83   var cl_I oben = plus1(binmant2); // obere Intervallgrenze ist
  84                                    // (x+x2)/2 = 2^(binexpo-1) * oben
  85   var cl_I unten = minus1(binmant2); // untere Intervallgrenze ist
  86   var uintL untenshift = 0;          // (x+x1)/2 = 2^(binexpo-1-untenshift) * unten
  87   if (integer_length(unten) == l) {
  88     // Normalerweise integerlength(unten) = 1+integerlength(binmant).
  89     // Hier integerlength(unten) = l = integerlength(binmant),
  90     // also war binmant eine Zweierpotenz. In diesem Fall ist die
  91     // die Toleranz nach oben 1/2 Einheit, aber die Toleranz nach unten
  92     // nur 1/4 Einheit: (x+x1)/2 = 2^(binexpo-2) * (4*binmant-1)
  93     unten = minus1(ash(binmant2,1));
  94     untenshift = 1;
  95   }
  96   // Bestimme d (ganz) und a1,a2 (ganz, >0) so, daß
  97   // die ganzen a mit (x+x1)/2 < 10^d * a < (x+x2)/2 genau
  98   // die ganzen a mit a1 <= a <= a2 sind und 0 <= a2-a1 < 20 gilt.
  99   // Wandle dazu 2^e := 2^(binexpo-1) ins Dezimalsystem um.
 100   var cl_I e = binexpo - 1;
 101   var bool e_gross = (abs(e) > ash(l,1)); // Ist |e| recht groß, >2*l ?
 102   var uintL g;     // Hilfsvariablen für den Fall, daß |e| groß ist
 103   var cl_I f;      //
 104   var cl_I zehn_d; // Hilfsvariable 10^|d| für den Fall, daß |e| klein ist
 105   var cl_I d;  // Ergebnisvariablen
 106   var cl_I a1; //
 107   var cl_I a2; //
 108   if (e_gross) { // Ist |e| recht groß ?
 109     // Da 2^e nur näherungsweise gehen kann, braucht man Schutzbits.
 110     var uintL h = 16; // Anzahl der Schutzbits, muß >= 3 sein
 111     neue_schutzbits:
 112     // Ziel: 2^e ~= 10^d * f/2^g, wobei 1 <= f/2^g < 10.
 113     g = l + h; // Anzahl der gültigen Bits von f
 114     // Schätze d = floor(e*lg(2))
 115     // mit Hilfe der Näherungsbrüche von lg(2):
 116     // (0 1/3 3/10 28/93 59/196 146/485 643/2136 4004/13301
 117     //  8651/28738 12655/42039 21306/70777 76573/254370 97879/325147
 118     //  1838395/6107016 1936274/6432163 13456039/44699994
 119     //  15392313/51132157 44240665/146964308 59632978/198096465
 120     //  103873643/345060773 475127550/1578339557 579001193/1923400330
 121     // )
 122     // e>=0 : wähle lg(2) < a/b < lg(2) + 1/e,
 123     //        dann ist d <= floor(e*a/b) <= d+1 .
 124     // e<0  : wähle lg(2) - 1/abs(e) < a/b < lg(2),
 125     //        dann ist d <= floor(e*a/b) <= d+1 .
 126     // Es ist bekannt, daß abs(e) <= 2^31 + 2^20 .
 127     // Unser d sei := floor(e*a/b)-1. (d /= 0, da abs(e) >= 7.)
 128     d = minus1(minusp(e)
 129                ? (e >= -970
 130                   ? floor1(e*3,10) // Näherungsbruch 3/10
 131                   : floor1(e*21306,70777) // Näherungsbruch 21306/70777
 132                  )
 133                : (e <= 22000
 134                   ? floor1(e*28,93) // Näherungsbruch 28/93
 135                   : floor1(e*12655,42039) // Näherungsbruch 12655/42039
 136                  )
 137               );
 138     // Das wahre d wird durch diese Schätzung entweder getroffen
 139     // oder um 1 unterschätzt.
 140     // Anders ausgedrückt: 0 < e*log(2)-d*log(10) < 2*log(10).
 141     // Nun f/2^g als exp(e*log(2)-d*log(10)) berechnen.
 142     // Da f < 100*2^g < 2^(g+7), sind g+7 Bits relative Genauigkeit
 143     // des Ergebnisses, also g+7 Bits absolute Genauigkeit von
 144     // e*log(2)-d*log(10) nötig. Dazu mit l'=integerlength(e)
 145     // für log(2): g+7+l' Bits abs. Gen., g+7+l' Bits rel. Gen.,
 146     // für log(10): g+7+l' Bits abs. Gen., g+7+l'+2 Bist rel. Gen.
 147     var cl_float_format_t gen = (cl_float_format_t)(g + integer_length(e) + 9); // Genauigkeit
 148     var cl_F f2g = exp(The(cl_F)(e * cl_ln2(gen)) - The(cl_F)(d * cl_ln10(gen))); // f/2^g
 149     // Das so berechnete f/2^g ist >1, <100.
 150     // Mit 2^g multiplizieren und auf eine ganze Zahl runden:
 151     f = round1(scale_float(f2g,g)); // liefert f
 152     // Eventuell f und d korrigieren:
 153     if (f >= ash(10,g)) // f >= 10*2^g ?
 154       { f = floor1(f,10); d = d+1; }
 155     // Nun ist 2^e ~= 10^d * f/2^g, wobei 1 <= f/2^g < 10 und
 156     // f ein Integer ist, der um höchstens 1 vom wahren Wert abweicht:
 157     // 10^d * (f-1)/2^g < 2^e < 10^d * (f+1)/2^g
 158     // Wir verkleinern nun das offene Intervall
 159     // von (x+x1)/2 = 2^(binexpo-1-untenshift) * unten
 160     // bis (x+x2)/2 = 2^(binexpo-1) * oben
 161     // zu einem abgeschlossenen Intervall
 162     // von 10^d * (f+1)/2^(g+untenshift) * unten
 163     // bis 10^d * (f-1)/2^g * oben
 164     // und suchen darin Zahlen der Form 10^d * a mit ganzem a.
 165     // Wegen  oben - unten/2^untenshift >= 3/2
 166     // und  oben + unten/2^untenshift <= 4*binmant+1 < 2^(l+2) <= 2^(g-1)
 167     // ist die Intervall-Länge
 168     // = 10^d * ((f-1)*oben - (f+1)*unten/2^untenshift) / 2^g
 169     // = 10^d * ( f * (oben - unten/2^untenshift)
 170     //            - (oben + unten/2^untenshift) ) / 2^g
 171     // >= 10^d * (2^g * 3/2 - 2^(g-1)) / 2^g
 172     // = 10^d * (3/2 - 2^(-1)) = 10^d
 173     // und daher gibt es in dem Intervall mindestens eine Zahl
 174     // dieser Form.
 175     // Die Zahlen der Form 10^d * a in diesem Intervall sind die
 176     // mit a1 <= a <= a2, wobei a2 = floor((f-1)*oben/2^g) und
 177     // a1 = ceiling((f+1)*unten/2^(g+untenshift))
 178     //    = floor(((f+1)*unten-1)/2^(g+untenshift))+1 .
 179     // Wir haben eben gesehen, daß a1 <= a2 sein muß.
 180     a1 = plus1(ash(minus1((f+1)*unten),-(g+untenshift)));
 181     a2 = ash((f-1)*oben,-g);
 182     // Wir können auch das offene Intervall
 183     // von (x+x1)/2 = 2^(binexpo-1-untenshift) * unten
 184     // bis (x+x2)/2 = 2^(binexpo-1) * oben
 185     // in das (abgeschlossene) Intervall
 186     // von 10^d * (f-1)/2^(g+untenshift) * unten
 187     // bis 10^d * (f+1)/2^g * oben
 188     // einschachteln. Hierin sind die Zahlen der Form 10^d * a
 189     // die mit a1' <= a <= a2', wobei a1' <= a1 <= a2 <= a2' ist
 190     // und sich a1' und a2' analog zu a1 und a2 berechnen.
 191     // Da (f-1)*oben/2^g und (f+1)*oben/2^g sich um 2*oben/2^g
 192     // < 2^(l+2-g) < 1 unterscheiden, unterscheiden sich a2 und
 193     // a2' um höchstens 1.
 194     // Ebenso, wenn 'oben' durch 'unten/2^untenshift' ersetzt
 195     // wird: a1' und a1 unterscheiden sich um höchstens 1.
 196     // Ist nun a1' < a1 oder a2 < a2' , so ist die Zweierpotenz-
 197     // Näherung 10^d * f/2^g für 2^e nicht genau genug gewesen,
 198     // und man hat das Ganze mit erhöhtem h zu wiederholen.
 199     // Ausnahme (da hilft auch keine höhere Genauigkeit):
 200     //   Wenn die obere oder untere Intervallgrenze (x+x2)/2 bzw.
 201     //   (x+x1)/2 selbst die Gestalt 10^d * a mit ganzem a hat.
 202     //   Dies testet man so:
 203     //     (x+x2)/2 = 2^e * oben == 10^d * a  mit ganzem a, wenn
 204     //     - für e>=0, (dann 0 <= d <= e): 5^d | oben,
 205     //     - für e<0, (dann e <= d < 0): 2^(d-e) | oben, was
 206     //                nur für d-e=0 der Fall ist.
 207     //     (x+x1)/2 = 2^(e-untenshift) * unten == 10^d * a
 208     //     mit ganzem a, wenn
 209     //     - für e>0, (dann 0 <= d < e): 5^d | unten,
 210     //     - für e<=0, (dann e <= d <= 0): 2^(d-e+untenshift) | unten,
 211     //                 was nur für d-e+untenshift=0 der Fall ist.
 212     // Da wir es jedoch mit großem |e| zu tun haben, kann dieser
 213     // Ausnahmefall hier gar nicht eintreten!
 214     // Denn im Falle e>=0: Aus e>=2*l und l>=11 folgt
 215     //   e >= (l+2)*ln(10)/ln(5) + ln(10)/ln(2),
 216     //   d >= e*ln(2)/ln(10)-1 >= (l+2)*ln(2)/ln(5),
 217     //   5^d >= 2^(l+2),
 218     //   und wegen 0 < unten < 2^(l+2) und 0 < oben < 2^(l+1)
 219     //   sind unten und oben nicht durch 5^d teilbar.
 220     // Und im Falle e<=0: Aus -e>=2*l und l>=6 folgt
 221     //   -e >= (l+2)*ln(10)/ln(5),
 222     //   d-e >= e*ln(2)/ln(10)-1-e = (1-ln(2)/ln(10))*(-e)-1
 223     //          = (-e)*ln(5)/ln(10)-1 >= l+1,
 224     //   2^(d-e) >= 2^(l+1),
 225     //   und wegen 0 < unten < 2^(l+1+untenshift) ist unten nicht
 226     //   durch 2^(d-e+untenshift) teilbar, und wegen
 227     //   0 < oben < 2^(l+1) ist oben nicht durch 2^(d-e) teilbar.
 228     {
 229       var cl_I a1prime = plus1(ash(minus1((f-1)*unten),-(g+untenshift)));
 230       if (a1prime < a1)
 231         { h = 2*h; goto neue_schutzbits; } // h verdoppeln und alles wiederholen
 232       var cl_I a2prime = ash((f+1)*oben,-g);
 233       if (a2 < a2prime)
 234         { h = 2*h; goto neue_schutzbits; } // h verdoppeln und alles wiederholen
 235     }
 236     // Jetzt ist a1 der kleinste und a2 der größte Wert, der
 237     // für a möglich ist.
 238     // Wegen  oben - unten/2^untenshift <= 2
 239     // ist die obige Intervall-Länge
 240     // = 10^d * ((f-1)*oben - (f+1)*unten/2^untenshift) / 2^g
 241     // < 10^d * ((f-1)*oben - (f-1)*unten/2^untenshift) / 2^g
 242     // = 10^d * (f-1)/2^g * (oben - unten/2^untenshift)
 243     // < 10^d * 10 * 2,
 244     // also gibt es höchstens 20 mögliche Werte für a.
 245   } else {
 246     // |e| ist recht klein -> man kann 2^e und 10^d exakt ausrechnen
 247     if (!minusp(e)) {
 248       // e >= 0. Schätze d = floor(e*lg(2)) wie oben.
 249       // Es ist e<=2*l<2^21.
 250       d = (e <= 22000
 251            ? floor1(e*28,93) // Näherungsbruch 28/93
 252            : floor1(e*4004,13301) // Näherungsbruch 4004/13301
 253           );
 254       // Das wahre d wird durch diese Schätzung entweder getroffen
 255       // oder um 1 überschätzt, aber das können wir leicht feststellen.
 256       zehn_d = The(cl_I)(expt(10,d)); // zehn_d = 10^d
 257       if (ash(1,e) < zehn_d) // falls 2^e < 10^d,
 258         { d = d-1; zehn_d = exquo(zehn_d,10); } // Schätzung korrigieren
 259       // Nun ist 10^d <= 2^e < 10^(d+1) und zehn_d = 10^d.
 260       // a1 sei das kleinste ganze a > 2^(e-untenshift) * unten / 10^d,
 261       // a2 sei das größte ganze a < 2^e * oben / 10^d.
 262       // a1 = 1+floor(unten*2^e/(2^untenshift*10^d)),
 263       // a2 = floor((oben*2^e-1)/10^d).
 264       a1 = plus1(floor1(ash(unten,e),ash(zehn_d,untenshift)));
 265       a2 = floor1(minus1(ash(oben,e)),zehn_d);
 266     } else {
 267       // e < 0. Schätze d = floor(e*lg(2)) wie oben.
 268       // Es ist |e|<=2*l<2^21.
 269       d = (e >= -970
 270            ? floor1(e*3,10) // Näherungsbruch 3/10
 271            : floor1(e*643,2136) // Näherungsbruch 643/2136
 272           );
 273       // Das wahre d wird durch diese Schätzung entweder getroffen
 274       // oder um 1 überschätzt, aber das können wir leicht feststellen.
 275       zehn_d = The(cl_I)(expt(10,-d)); // zehn_d = 10^(-d)
 276       if (integer_length(zehn_d) <= -e) // falls 2^e < 10^d,
 277         { d = d-1; zehn_d = zehn_d*10; } // Schätzung korrigieren
 278       // Nun ist 10^d <= 2^e < 10^(d+1) und zehn_d = 10^(-d).
 279       // a1 sei das kleinste ganze a > 2^(e-untenshift) * unten / 10^d,
 280       // a2 sei das größte ganze a < 2^e * oben / 10^d.
 281       // a1 = 1+floor(unten*10^(-d)/2^(-e+untenshift)),
 282       // a2 = floor((oben*10^(-d)-1)/2^(-e))
 283       a1 = plus1(ash(unten*zehn_d,e-untenshift));
 284       a2 = ash(minus1(oben*zehn_d),e);
 285     }
 286   }
 287   // Nun sind die ganzen a mit (x+x1)/2 < 10^d * a < (x+x2)/2 genau
 288   // die ganzen a mit a1 <= a <= a2. Deren gibt es höchstens 20.
 289   // Diese werden in drei Schritten auf einen einzigen reduziert:
 290   // 1. Enthält der Bereich eine durch 10 teilbare Zahl a ?
 291   //    ja -> setze a1:=ceiling(a1/10), a2:=floor(a2/10), d:=d+1.
 292   // Danach enthält der Bereich a1 <= a <= a2 höchstens 10
 293   // mögliche Werte für a.
 294   // 2. Falls jetzt einer der möglichen Werte durch 10 teilbar ist
 295   //    (es kann nur noch einen solchen geben),
 296   //    wird er gewählt, die anderen vergessen.
 297   // 3. Sonst wird unter allen noch möglichen Werten der zu x
 298   //    nächstgelegene gewählt.
 299   var cl_boolean d_shift = cl_false; // Flag, ob im 1. Schritt d incrementiert wurde
 300   var cl_I a; // das ausgewählte a
 301   // 1.
 302   {
 303     var cl_I b1 = ceiling1(a1,10);
 304     var cl_I b2 = floor1(a2,10);
 305     if (b1 <= b2) // noch eine durch 10 teilbare Zahl a ?
 306       { a1 = b1; a2 = b2; d = d+1; d_shift = cl_true; }
 307       else
 308       goto keine_10_mehr;
 309   }
 310   // 2.
 311   a = floor1(a2,10);
 312   if (10*a >= a1) {
 313     // Noch eine durch 10 teilbare Zahl -> durch 10 teilen.
 314     d = d+1; // noch d erhöhen, zehn-d wird nicht mehr gebraucht
 315     // Nun a in einen Dezimalstring umwandeln
 316     // und dann Nullen am Schluß streichen:
 317     var char* as = cl_decimal_string(a); // Ziffernfolge zu a>0
 318     var uintL las = strlen(as); // Länge der Ziffernfolge
 319     var uintL k = las; // Länge ohne die gestrichenen Nullen am Schluß
 320     var cl_I ee = k+d; // a * 10^d = a * 10^(-k+ee)
 321     while (as[k-1] == '0') // eine 0 am Schluß?
 322       { // ja -> a := a / 10 (wird aber nicht mehr gebraucht),
 323         // d := d+1 (wird aber nicht mehr gebraucht),
 324         k = k-1; as[k] = '\0';
 325       }
 326     return cl_decimal_decoded_float(as,k,ee,sign);
 327   }
 328   // 3.
 329   keine_10_mehr:
 330   if (a1 == a2) {
 331     // a1=a2 -> keine Frage der Auswahl mehr:
 332     a = a1;
 333   } else {
 334     // a1<a2 -> zu x nächstgelegenes 10^d * a wählen:
 335     if (e_gross) {
 336       // a = round(f*2*binmant/2^g/(1oder10)) (beliebige Rundung)
 337       //   = ceiling(floor(f*2*binmant/(1oder10)/2^(g-1))/2) wählen:
 338       var cl_I temp = f * binmant2;
 339       if (d_shift) { temp = floor1(temp,10); }
 340       a = ash(plus1(ash(temp,1-g)),-1);
 341     } else {
 342       // |e| klein -> analog wie oben a2 berechnet wurde
 343       if (!minusp(e)) {
 344         // e>=0: a = round(2^e*2*binmant/10^d)
 345         if (d_shift) { zehn_d = 10*zehn_d; }
 346         a = round1(ash(binmant2,e),zehn_d);
 347       } else {
 348         // e<0, also war d<0, jetzt (wegen Schritt 1) d<=0.
 349         // a = round(2*binmant*10^(-d)/2^(-e))
 350         if (d_shift) { zehn_d = floor1(zehn_d,10); }
 351         a = ash(plus1(ash(binmant2*zehn_d,e+1)),-1);
 352       }
 353     }
 354   }
 355   var char* as = cl_decimal_string(a); // Ziffernfolge zu a>0
 356   var uintL k = strlen(as);
 357   ASSERT(as[k-1] != '0');
 358   return cl_decimal_decoded_float(as,k,k+d,sign);
 359 }
 360
 361 // Ausgabefunktion:
 362 void print_float (cl_ostream stream, const cl_print_float_flags& flags, const cl_F& z)
 363 {
 364   var cl_decimal_decoded_float z_decoded = decode_float_decimal(z);
 365   var char * & mantstring = z_decoded.a;
 366   var uintL& mantlen = z_decoded.k;
 367   var cl_I& expo = z_decoded.e;
 368   var cl_I& sign = z_decoded.s;
 369   // arg in Dezimaldarstellung: +/- 0.mant * 10^expo, wobei
 370   //  mant die Mantisse: als Simple-String mantstring mit Länge mantlen,
 371   //  expo der Dezimal-Exponent,
 372   //  sign das Vorzeichen (-1 oder 0 oder 1).
 373   if (eq(sign,-1)) // z < 0 ?
 374     fprintchar(stream,'-');
 375   var bool flag = (expo >= -2) && (expo <= 7); // z=0 oder 10^-3 <= |z| < 10^7 ?
 376   // Was ist auszugeben? Fallunterscheidung:
 377   // flag gesetzt -> "fixed-point notation":
 378   //   expo <= 0 -> Null, Punkt, -expo Nullen, alle Ziffern
 379   //   0 < expo < mantlen ->
 380   //     die ersten expo Ziffern, Punkt, die restlichen Ziffern
 381   //   expo >= mantlen -> alle Ziffern, expo-mantlen Nullen, Punkt, Null
 382   //   Nach Möglichkeit kein Exponent// wenn nötig, Exponent 0.
 383   // flag gelöscht -> "scientific notation":
 384   //   erste Ziffer, Punkt, die restlichen Ziffern, bei mantlen=1 eine Null
 385   //   Exponent.
 386   if (flag && !plusp(expo)) {
 387     // "fixed-point notation" mit expo <= 0
 388     // erst Null und Punkt, dann -expo Nullen, dann alle Ziffern
 389     fprintchar(stream,'0');
 390     fprintchar(stream,'.');
 391     for (uintL i = -FN_to_L(expo); i > 0; i--)
 392       fprintchar(stream,'0');
 393     fprint(stream,mantstring);
 394     expo = 0; // auszugebender Exponent ist 0
 395   } else {
 396     // "fixed-point notation" mit expo > 0 oder "scientific notation"
 397     var uintL scale = (flag ? FN_to_L(expo) : 1);
 398     // Der Dezimalpunkt wird um scale Stellen nach rechts geschoben,
 399     // d.h. es gibt scale Vorkommastellen. scale > 0.
 400     if (scale < mantlen) {
 401       // erst scale Ziffern, dann Punkt, dann restliche Ziffern:
 402       { for (uintL i = 0; i < scale; i++)
 403           fprintchar(stream,mantstring[i]);
 404       }
 405       fprintchar(stream,'.');
 406       { for (uintL i = scale; i < mantlen; i++)
 407           fprintchar(stream,mantstring[i]);
 408       }
 409     } else {
 410       // scale>=mantlen -> es bleibt nichts für die Nachkommastellen.
 411       // alle Ziffern, dann scale-mantlen Nullen, dann Punkt und Null
 412       fprint(stream,mantstring);
 413       for (uintL i = mantlen; i < scale; i++)
 414         fprintchar(stream,'0');
 415       fprintchar(stream,'.');
 416       fprintchar(stream,'0');
 417     }
 418     expo = expo - scale; // der auszugebende Exponent ist um scale kleiner.
 419   }
 420   // Nun geht's zum Exponenten:
 421   var char exp_marker;
 422   floattypecase(z
 423   ,     exp_marker = 's';
 424   ,     exp_marker = 'f';
 425   ,     exp_marker = 'd';
 426   ,     exp_marker = 'L';
 427   );
 428   if (!flags.float_readably) {
 429     floatformatcase(flags.default_float_format
 430     ,   if (exp_marker=='s') { exp_marker = 'E'; }
 431     ,   if (exp_marker=='f') { exp_marker = 'E'; }
 432     ,   if (exp_marker=='d') { exp_marker = 'E'; }
 433     ,   if ((exp_marker=='L') && (len == TheLfloat(z)->len)) { exp_marker = 'E'; }
 434     );
 435   }
 436   if (!(flag && (exp_marker=='E'))) { // evtl. Exponent ganz weglassen
 437     fprintchar(stream,exp_marker);
 438     print_integer(stream,10,expo);
 439   }
 440   // Fertig. Aufräumen.
 441   cl_free_hook(mantstring);
 442 }