src/float/transcendental/cl_F_sinhx.cc

   1 // sinhxbyx(), sinhx().
   2
   3 // General includes.
   4 #include "cl_sysdep.h"
   5
   6 // Specification.
   7 #include "cl_F_tran.h"
   8
   9
  10 // Implementation.
  11
  12 #include "cln/float.h"
  13 #include "cl_low.h"
  14 #include "cl_F.h"
  15 #include "cln/lfloat.h"
  16 #include "cl_LF.h"
  17 #include "cln/integer.h"
  18
  19 #include "cl_inline.h"
  20 #include "cl_LF_zerop.cc"
  21 #include "cl_LF_exponent.cc"
  22
  23 namespace cln {
  24
  25 // sinhxbyx is mainly for cl_SF, cl_FF, cl_DF, where we want to avoid underflow.
  26
  27 const cl_F sinhxbyx_naive (const cl_F& x)
  28 {
  29 // Methode:
  30 // e := Exponent aus (decode-float x), d := (float-digits x)
  31 // Bei x=0.0 oder e<=(1-d)/2 liefere 1.0
  32 //   (denn bei e<=(1-d)/2 ist x^2/6 < x^2/4 < 2^(1-d)/4 = 2^(-d-1), also
  33 //   1 <= sinh(x)/x = 1+x^2/6+... < 1+2^(-d-1), also 1 <= (sinh(x)/x)^2 < 1+2^(-d),
  34 //   also ist (sinh(x)/x)^2, auf d Bits gerundet, gleich 1.0).
  35 // Bei e<=-sqrt(d) verwende die Potenzreihe
  36 //   sinh(x)/x = sum(j=0..inf,(x^2)^j/(2j+1)!):
  37 //   a:=x^2, b:=1, i:=1, sum:=0,
  38 //   while (/= sum (setq sum (+ sum b))) do b:=b*a/((i+1)*(i+2)), i:=i+2.
  39 //   Ergebnis sum^2.
  40 // Sonst setze y := x/2 = (scale-float x -1),
  41 //   berechne rekursiv z:=(sinh(y)/y)^2 und liefere z*(1+y^2*z).
  42 // [Die Grenze sqrt(d) ergibt sich so:
  43 //  Man braucht bei der Potenzreihe mit x=2^-k etwa j Glieder, mit
  44 //  k*j*ln 2 + j*(ln j - 1) = d, und der Aufwand beträgt etwa 2.8*(j/2)
  45 //  Multiplikationen von d-Bit-Zahlen. Bei Halbierungen bis x=2^-k ist der
  46 //  Gesamtaufwand etwa 2*(k+e)+1.4*j(k). Dieses minimieren nach k: Soll sein
  47 //  -1.4 = d/dk j(k) = (d/dj k(j))^-1 = - j^2/(d+j)*ln 2, also j^2=2(d+j),
  48 //  grob j=sqrt(2d) und damit k=sqrt(d).]
  49 // Aufwand: asymptotisch d^2.5 .
  50
  51         if (zerop(x))
  52                 return cl_float(1,x);
  53         var uintC d = float_digits(x);
  54         var sintE e = float_exponent(x);
  55         if (e <= (1-(sintC)d)>>1) // e <= (1-d)/2 <==> e <= -ceiling((d-1)/2) ?
  56                 return cl_float(1,x); // ja -> 1.0 als Ergebnis
  57  {      Mutable(cl_F,x);
  58         // Bei e <= -1-limit_slope*floor(sqrt(d)) kann die Potenzreihe
  59         // angewandt werden. Wähle limit_slope = 13/32 = 0.4.
  60         var sintL e_limit = -1-floor(isqrtC(d)*13,32); // -1-floor(sqrt(d))
  61         if (e > e_limit) {
  62                 // e > -1-limit_slope*floor(sqrt(d)) -> muß |x| verkleinern.
  63                 x = scale_float(x,e_limit-e);
  64                 // Neuer Exponent = e_limit.
  65         }
  66         var cl_F x2 = square(x);        // x^2
  67         // Potenzreihe anwenden:
  68         var cl_F a = x2; // a := x^2
  69         var int i = 1;
  70         var cl_F b = cl_float(1,x); // b := (float 1 x)
  71         var cl_F sum = cl_float(0,x); // sum := (float 0 x)
  72         loop {
  73                 var cl_F new_sum = sum + b;
  74                 if (new_sum == sum) // = sum ?
  75                         break; // ja -> Potenzreihe abbrechen
  76                 sum = new_sum;
  77                 b = (b*a)/(cl_I)((i+1)*(i+2));
  78                 i = i+2;
  79         }
  80         var cl_F z = square(sum); // sum^2 als Ergebnis
  81         while (e > e_limit) {
  82                 z = z + x2 * square(z);
  83                 x2 = scale_float(x2,2); // x^2 := x^2*4
  84                 e--;
  85         }
  86         return z;
  87 }}
  88 // Bit complexity (N = length(x)): O(N^(1/2)*M(N)).
  89
  90 const cl_LF sinhx_naive (const cl_LF& x)
  91 {
  92 // Methode:
  93 // e := Exponent aus (decode-float x), d := (float-digits x)
  94 // Bei x=0.0 oder e<=(1-d)/2 liefere x
  95 //   (denn bei e<=(1-d)/2 ist x^2/6 < x^2/4 < 2^(1-d)/4 = 2^(-d-1), also
  96 //   1 <= sinh(x)/x = 1+x^2/6+... < 1+2^(-d-1), also ist sinh(x)^2, auf d Bits
  97 //   gerundet, gleich x).
  98 // Bei e<=-sqrt(d) verwende die Potenzreihe
  99 //   sinh(x) = sum(j=0..inf,x*(x^2)^j/(2j+1)!):
 100 //   a:=x^2, b:=x, i:=1, sum:=0,
 101 //   while (/= sum (setq sum (+ sum b))) do b:=b*a/((i+1)*(i+2)), i:=i+2.
 102 //   Ergebnis sum^2.
 103 // Sonst setze y := x/2 = (scale-float x -1),
 104 //   berechne rekursiv z:=sinh(y)^2 und liefere 4*z*(1+z) = (1+2*z)^2-1.
 105 // [Die Grenze sqrt(d) ergibt sich so:
 106 //  Man braucht bei der Potenzreihe mit x=2^-k etwa j Glieder, mit
 107 //  k*j*ln 2 + j*(ln j - 1) = d, und der Aufwand beträgt etwa 2.8*(j/2)
 108 //  Multiplikationen von d-Bit-Zahlen. Bei Halbierungen bis x=2^-k ist der
 109 //  Gesamtaufwand etwa 2*(k+e)+1.4*j(k). Dieses minimieren nach k: Soll sein
 110 //  -1.4 = d/dk j(k) = (d/dj k(j))^-1 = - j^2/(d+j)*ln 2, also j^2=2(d+j),
 111 //  grob j=sqrt(2d) und damit k=sqrt(d).]
 112 // Aufwand: asymptotisch d^2.5 .
 113
 114         if (zerop_inline(x))
 115                 return x;
 116         var uintC actuallen = TheLfloat(x)->len;
 117         var uintC d = float_digits(x);
 118         var sintE e = float_exponent_inline(x);
 119         if (e <= (1-(sintC)d)>>1) // e <= (1-d)/2 <==> e <= -ceiling((d-1)/2) ?
 120                 return square(x); // ja -> x^2 als Ergebnis
 121  {      Mutable(cl_LF,x);
 122         var sintE ee = e;
 123         // Bei e <= -1-limit_slope*floor(sqrt(d)) kann die Potenzreihe
 124         // angewandt werden. Ein guter Wert für naive1 ist limit_slope = 0.6,
 125         // für naive3 aber limit_slope = 0.5.
 126         var sintL e_limit = -1-floor(isqrtC(d),2); // -1-floor(sqrt(d))
 127         if (e > e_limit) {
 128                 // e > -1-limit_slope*floor(sqrt(d)) -> muß |x| verkleinern.
 129                 x = scale_float(x,e_limit-e);
 130                 ee = e_limit; // Neuer Exponent = e_limit.
 131         }
 132         var cl_LF x2 = square(x); // x^2
 133         // Potenzreihe anwenden:
 134         var cl_LF powser_value;
 135         var cl_LF a = x2; // a := x^2
 136         var int i = 1;
 137         if (0) {
 138                 // naive1:
 139                 // fixed-point representation
 140                 d = d-ee; // fixed-point representation with d mantissa bits
 141                 var cl_I b = round1(scale_float(x,d)); // b := x
 142                 var cl_I sum = 0; // sum := (float 0 x)
 143                 loop {
 144                         if (b == 0) break;
 145                         sum = sum + b;
 146                         b = round1(round1(The(cl_LF)(b*a)),(cl_I)((i+1)*(i+2)));
 147                         i = i+2;
 148                 }
 149                 powser_value = scale_float(cl_float(sum,x),-(sintC)d);
 150         } else if (actuallen <= 7) { // Break-even-Point before extendsqrt: N<=6
 151                 // naive2:
 152                 // floating-point representation
 153                 var cl_LF b = x; // b := x
 154                 var cl_LF sum = cl_float(0,x); // sum := (float 0 x)
 155                 loop {
 156                         var cl_LF new_sum = sum + b;
 157                         if (new_sum == sum) // = sum ?
 158                                 break; // ja -> Potenzreihe abbrechen
 159                         sum = new_sum;
 160                         b = (b*a)/(cl_I)((i+1)*(i+2));
 161                         i = i+2;
 162                 }
 163                 powser_value = sum;
 164         } else {
 165                 // naive3:
 166                 // floating-point representation with smooth precision reduction
 167                 var cl_LF b = x; // b := x
 168                 var cl_LF eps = scale_float(b,-(sintC)d-10);
 169                 var cl_LF sum = cl_float(0,x); // sum := (float 0 x)
 170                 loop {
 171                         var cl_LF new_sum = sum + LF_to_LF(b,actuallen);
 172                         if (new_sum == sum) // = sum ?
 173                                 break; // ja -> Potenzreihe abbrechen
 174                         sum = new_sum;
 175                         b = cl_LF_shortenwith(b,eps);
 176                         b = (b*a)/(cl_I)((i+1)*(i+2));
 177                         i = i+2;
 178                 }
 179                 powser_value = sum;
 180         }
 181         var cl_LF z = square(powser_value); // sinh^2 als Ergebnis
 182         while (e > e_limit) {
 183                 z = square(cl_float(1,x) + scale_float(z,1)) - cl_float(1,x); // z := (1+2*z)^2-1
 184                 e--;
 185         }
 186         return z;
 187 }}
 188 // Bit complexity (N = length(x)): O(N^(1/2)*M(N)).
 189
 190 // Timings of the three variants, on an i486 33 MHz, running Linux,
 191 // applied to x = sqrt(2)-1 = 0.414...
 192 //   N     naive1  naive2  naive3  ratseries exp&recip
 193 //    4     0.0055  0.0039  0.0041  0.021     0.0046
 194 //    6     0.0073  0.0054  0.0054  0.029     0.0062
 195 //    8     0.0093  0.0075  0.0070  0.036     0.0081
 196 //   10     0.011   0.010   0.009   0.046     0.0011
 197 //   25     0.041   0.046   0.033   0.133     0.043
 198 //   50     0.14    0.18    0.12    0.36      0.16
 199 //  100     0.56    0.70    0.43    1.12      0.61
 200 //  250     3.5     4.5     2.7     5.3       3.3
 201 //  500    14.9    19.4    11.4    19.0      11.4
 202 // 1000    63      82      47      63        35
 203 // 2500   328     381     243     261       143
 204 // ==> naive2 fastest for N <= 6,
 205 //     naive3 fastest for 6 <= N <= 500,
 206 //     exp&recip (which uses exp's own ratseries) fastest for N >= 500.
 207
 208 }  // namespace cln