src/float/transcendental/cl_LF_eulerconst.cc

   1 // cl_eulerconst().
   2
   3 // General includes.
   4 #include "cl_sysdep.h"
   5
   6 // Specification.
   7 #include "cl_F_tran.h"
   8
   9
  10 // Implementation.
  11
  12 #include "cl_lfloat.h"
  13 #include "cl_LF_tran.h"
  14 #include "cl_LF.h"
  15 #include "cl_integer.h"
  16 #include "cl_alloca.h"
  17 #include "cl_abort.h"
  18
  19 #if 0 // works, but besselintegral4 is always faster
  20
  21 const cl_LF compute_eulerconst_expintegral (uintC len)
  22 {
  23         // [Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM.
  24         //  Wiley 1987. Section 10.2.3, exercise 11, p. 336]
  25         // Use the following formula for the modified exponential integral
  26         // (valid for Re(z) > 0)
  27         //   E1(z) := integral(t = z..+infty, exp(-t)/t dt)
  28         //   E1(z) = - log z - C + sum(n=1..infty, (-1)^(n-1) z^n / (n*n!))
  29         // [Hint for proving this formula:
  30         //  1. Learn about the elementary properties of the Gamma function.
  31         //  2. -C = derivative of Gamma at 1
  32         //        = lim_{z -> 0} (Gamma(z) - 1/z)
  33         //        = integral(t = 0..1, (exp(-t)-1)/t dt)
  34         //          + integral(t = 1..infty, exp(-t)/t dt)
  35         //  3. Add
  36         //     0 = integral(t=0..1, 1/(t+1)) - integral(t=1..infty, 1/t(t+1) dt)
  37         //     to get
  38         //     -C = integral(t = 0..infty, (exp(-t)/t - 1/t(t+1)) dt)
  39         //  4. Compute E1(z) + C and note that E1(z) + C + log z is the integral
  40         //     of an entire function, hence an entire function as well.]
  41         // Of course we also have the estimate
  42         //   |E1(z)| < exp(-Re(z)).
  43         // This means that we can get C by computing
  44         //   sum(n=1..infty, (-1)^(n-1) z^n / (n*n!)) - log z
  45         // for large z.
  46         // In order to get M bits of precision, we first choose z (real) such
  47         // that exp(-z) < 2^-M. This will make |E1(z)| small enough. z should
  48         // be chosen as an integer, this is the key to computing the series
  49         // sum very fast. z = M*log(2) + O(1).
  50         // Then we choose the number N of terms:
  51         //   Note than the n-th term's absolute value is (logarithmically)
  52         //     n*log(z) - n*log(n) + n - 3/2*log(n) - log(sqrt(2 pi)) + o(1).
  53         //   The derivative of this with respect to n is
  54         //     log(z) - log(n) - 3/(2n) + o(1/n),
  55         //   hence is increasing for n < z and decreasing for n > z.
  56         //   The maximum value is attained at n = z + O(1), and is z + O(log z),
  57         //   which means that we need z/log(2) + O(log z) bits before the
  58         //   decimal point.
  59         //   We can cut off the series when
  60         //    n*log(z) - n*log(n) + n - 3/2*log(n) - log(sqrt(2 pi)) < -M*log(2)
  61         //   This happens at n = alpha*z - 3/(2*log(alpha))*log(z) + O(1),
  62         //   where alpha = 3.591121477... is the solution of
  63         //     -alpha*log(alpha) + alpha + 1 = 0.
  64         //   [Use the Newton iteration  alpha --> (alpha+1)/log(alpha)  to
  65         //    compute this number.]
  66         // Finally we compute the series's sum as
  67         //   sum(0 <= n < N, a(n)/b(n) * (p(0)...p(n))/(q(0)...q(n)))
  68         // with a(n) = 1, b(n) = n+1, p(n) = z for n=0, -z for n>0, q(n) = n+1.
  69         // If we computed this with floating-point numbers, we would have
  70         // to more than double the floating-point precision because of the large
  71         // extinction which takes place. But luckily we compute with integers.
  72         var uintC actuallen = len+1; // 1 Schutz-Digit
  73         var uintL z = (uintL)(0.693148*intDsize*actuallen)+1;
  74         var uintL N = (uintL)(3.591121477*z);
  75         CL_ALLOCA_STACK;
  76         var cl_I* bv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
  77         var cl_I* pv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
  78         var cl_I* qv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
  79         var uintL n;
  80         for (n = 0; n < N; n++) {
  81                 init1(cl_I, bv[n]) (n+1);
  82                 init1(cl_I, pv[n]) (n==0 ? (cl_I)z : -(cl_I)z);
  83                 init1(cl_I, qv[n]) (n+1);
  84         }
  85         var cl_pqb_series series;
  86         series.bv = bv;
  87         series.pv = pv; series.qv = qv; series.qsv = NULL;
  88         var cl_LF fsum = eval_rational_series(N,series,actuallen);
  89         for (n = 0; n < N; n++) {
  90                 bv[n].~cl_I();
  91                 pv[n].~cl_I();
  92                 qv[n].~cl_I();
  93         }
  94         fsum = fsum - ln(cl_I_to_LF(z,actuallen)); // log(z) subtrahieren
  95         return shorten(fsum,len); // verkürzen und fertig
  96 }
  97 // Bit complexity (N = len): O(log(N)^2*M(N)).
  98
  99 #endif
 100
 101 #if 0 // works, but besselintegral1 is twice as fast
 102
 103 const cl_LF compute_eulerconst_expintegral1 (uintC len)
 104 {
 105         // Define f(z) := sum(n=0..infty, z^n/n!) = exp(z)
 106         // and    g(z) := sum(n=0..infty, H_n*z^n/n!)
 107         // where H_n := 1/1 + 1/2 + ... + 1/n.
 108         // The following formula can be proved:
 109         //   g'(z) - g(z) = (exp(z)-1)/z,
 110         //   g(z) = exp(z)*(log(z) + c3 + integral(t=..z, exp(-t)/t dt))
 111         // The Laplace method for determining the asymptotics of an integral
 112         // or sum yields for real x>0 (the terms n = x+O(x^(1/2)) are
 113         // dominating):
 114         //   f(x) = exp(x)*(1 + O(x^(-1/2)))
 115         //   g(x) = exp(x)*(log(x) + C + O(log(x)*x^(-1/2)))
 116         // Hence
 117         //   g(x)/f(x) - log(x) - C = O(log(x)*x^(-1/2))
 118         // This determines the constant c3, we thus have
 119         //   g(z) = exp(z)*(log(z) + C + integral(t=z..infty, exp(-t)/t dt))
 120         // Hence we have for x -> infty:
 121         //   g(x)/f(x) - log(x) - C == O(exp(-x))
 122         // This means that we can get C by computing
 123         //   g(x)/f(x) - log(x)
 124         // for large x.
 125         // In order to get M bits of precision, we first choose x (real) such
 126         // that exp(-x) < 2^-M. This will make the absolute value of the
 127         // integral small enough. x should be chosen as an integer, this is
 128         // the key to computing the series sum very fast. x = M*log(2) + O(1).
 129         // Then we choose the number N of terms:
 130         //   Note than the n-th term's absolute value is (logarithmically)
 131         //     n*log(x) - n*log(n) + n - 1/2*log(n) - 1/2*log(2 pi) + o(1).
 132         //   The derivative of this with respect to n is
 133         //     log(x) - log(n) - 1/2n + o(1/n),
 134         //   hence is increasing for n < x and decreasing for n > x.
 135         //   The maximum value is attained at n = x + O(1), and is
 136         //   x + O(log x), which means that we need x/log(2) + O(log x)
 137         //   bits before the decimal point. This also follows from the
 138         //   asymptotic estimate for f(x).
 139         //   We can cut off the series when the relative error is < 2^-M,
 140         //   i.e. when the absolute error is < 2^-M*exp(x), i.e.
 141         //     n*log(x) - n*log(n) + n - 1/2*log(n) - 1/2*log(2 pi) <
 142         //     < -M*log(2) + x
 143         //   This happens at n = e*x - 1/2*log(x) + O(1).
 144         // Finally we compute the sums of the series f(x) and g(x) with N terms
 145         // each.
 146         // We compute f(x) classically and g(x) using the partial sums of f(x).
 147         var uintC actuallen = len+2; // 2 Schutz-Digits
 148         var uintL x = (uintL)(0.693148*intDsize*actuallen)+1;
 149         var uintL N = (uintL)(2.718281828*x);
 150         var cl_LF one = cl_I_to_LF(1,actuallen);
 151         var cl_LF fterm = one;
 152         var cl_LF fsum = fterm;
 153         var cl_LF gterm = cl_I_to_LF(0,actuallen);
 154         var cl_LF gsum = gterm;
 155         var uintL n;
 156         // After n loops
 157         //   fterm = x^n/n!, fsum = 1 + x/1! + ... + x^n/n!,
 158         //   gterm = H_n*x^n/n!, gsum = H_1*x/1! + ... + H_n*x^n/n!.
 159         for (n = 1; n < N; n++) {
 160                 fterm = The(cl_LF)(fterm*x)/n;
 161                 gterm = (The(cl_LF)(gterm*x) + fterm)/n;
 162                 if (len < 10 || n <= x) {
 163                         fsum = fsum + fterm;
 164                         gsum = gsum + gterm;
 165                 } else {
 166                         // For n > x, the terms are decreasing.
 167                         // So we can reduce the precision accordingly.
 168                         fterm = cl_LF_shortenwith(fterm,one);
 169                         gterm = cl_LF_shortenwith(gterm,one);
 170                         fsum = fsum + LF_to_LF(fterm,actuallen);
 171                         gsum = gsum + LF_to_LF(gterm,actuallen);
 172                 }
 173         }
 174         var cl_LF result = gsum/fsum - ln(cl_I_to_LF(x,actuallen));
 175         return shorten(result,len); // verkürzen und fertig
 176 }
 177 // Bit complexity (N = len): O(N^2).
 178
 179 #endif
 180
 181 #if 0 // works, but besselintegral4 is always faster
 182
 183 // Same algorithm as expintegral1, but using binary splitting to evaluate
 184 // the sums.
 185 const cl_LF compute_eulerconst_expintegral2 (uintC len)
 186 {
 187         var uintC actuallen = len+2; // 2 Schutz-Digits
 188         var uintL x = (uintL)(0.693148*intDsize*actuallen)+1;
 189         var uintL N = (uintL)(2.718281828*x);
 190         CL_ALLOCA_STACK;
 191         var cl_pqd_series_term* args = (cl_pqd_series_term*) cl_alloca(N*sizeof(cl_pqd_series_term));
 192         var uintL n;
 193         for (n = 0; n < N; n++) {
 194                 init1(cl_I, args[n].p) (x);
 195                 init1(cl_I, args[n].q) (n+1);
 196                 init1(cl_I, args[n].d) (n+1);
 197         }
 198         var cl_pqd_series_result sums;
 199         eval_pqd_series_aux(N,args,sums);
 200         // Instead of computing  fsum = 1 + T/Q  and  gsum = V/(D*Q)
 201         // and then dividing them, to compute  gsum/fsum, we save two
 202         // divisions by computing  V/(D*(Q+T)).
 203         var cl_LF result =
 204           cl_I_to_LF(sums.V,actuallen)
 205           / The(cl_LF)(sums.D * cl_I_to_LF(sums.Q+sums.T,actuallen))
 206           - ln(cl_I_to_LF(x,actuallen));
 207         for (n = 0; n < N; n++) {
 208                 args[n].p.~cl_I();
 209                 args[n].q.~cl_I();
 210                 args[n].d.~cl_I();
 211         }
 212         return shorten(result,len); // verkürzen und fertig
 213 }
 214 // Bit complexity (N = len): O(log(N)^2*M(N)).
 215
 216 #endif
 217
 218 // cl_LF compute_eulerconst_besselintegral (uintC len)
 219         // This is basically the algorithm used in Pari.
 220         // Define f(z) := sum(n=0..infty, z^n/n!^2)
 221         // and    g(z) := sum(n=0..infty, H_n*z^n/n!^2)
 222         // where H_n := 1/1 + 1/2 + ... + 1/n.
 223         // [f(z) and g(z) are intimately related to the Bessel functions:
 224         //  f(x^2) = I_0(2*x), g(x^2) = K_0(2*x) + I_0(2*x*)*(C + log(x)).]
 225         // The following formulas can be proved:
 226         //   z f''(z) + f'(z) - f(z) = 0,
 227         //   z g''(z) + g'(z) - g(z) = f'(z),
 228         //   g(z) = (log(z)/2 + c3 - 1/2 integral(t=..z, 1/(t f(t)^2) dt)) f(z)
 229         // The Laplace method for determining the asymptotics of an integral
 230         // or sum yields for real x>0 (the terms n = sqrt(x)+O(x^(1/4)) are
 231         // dominating):
 232         //   f(x) = exp(2*sqrt(x))*x^(-1/4)*1/(2*sqrt(pi))*(1 + O(x^(-1/4)))
 233         //   g(x) = exp(2*sqrt(x))*x^(-1/4)*1/(2*sqrt(pi))*
 234         //          (1/2*log(x) + C + O(log(x)*x^(-1/4)))
 235         // Hence
 236         //   g(x)/f(x) - 1/2*log(x) - C = O(log(x)*x^(-1/4))
 237         // This determines the constant c3, we thus have
 238         // g(z)= (log(z)/2 + C + 1/2 integral(t=z..infty, 1/(t f(t)^2) dt)) f(z)
 239         // Hence we have for x -> infty:
 240         //   g(x)/f(x) - 1/2*log(x) - C == pi*exp(-4*sqrt(x)) [approx.]
 241         // This means that we can get C by computing
 242         //   g(x)/f(x) - 1/2*log(x)
 243         // for large x.
 244         // In order to get M bits of precision, we first choose x (real) such
 245         // that exp(-4*sqrt(x)) < 2^-(M+2). This will make the absolute value
 246         // of the integral small enough. x should be chosen as an integer,
 247         // this is the key to computing the series sum very fast. sqrt(x)
 248         // need not be an integer. Set sx = sqrt(x).
 249         // sx = M*log(2)/4 + O(1).
 250         // Then we choose the number N of terms:
 251         //   Note than the n-th term's absolute value is (logarithmically)
 252         //     n*log(x) - 2*n*log(n) + 2*n - log(n) - log(2 pi) + o(1).
 253         //   The derivative of this with respect to n is
 254         //     log(x) - 2*log(n) - 1/n + o(1/n),
 255         //   hence is increasing for n < sx and decreasing for n > sx.
 256         //   The maximum value is attained at n = sx + O(1), and is
 257         //   2*sx + O(log x), which means that we need 2*sx/log(2) + O(log x)
 258         //   bits before the decimal point. This also follows from the
 259         //   asymptotic estimate for f(x).
 260         //   We can cut off the series when the relative error is < 2^-M,
 261         //   i.e. when the absolute error is
 262         //      < 2^-M*exp(2*sx)*sx^(-1/2)*1/(2*sqrt(pi)),
 263         //   i.e.
 264         //     n*log(x) - 2*n*log(n) + 2*n - log(n) - log(2 pi) <
 265         //     < -M*log(2) + 2*sx - 1/2*log(sx) - log(2 sqrt(pi))
 266         //   This happens at n = alpha*sx - 1/(4*log(alpha))*log(sx) + O(1),
 267         //   where alpha = 3.591121477... is the solution of
 268         //     -alpha*log(alpha) + alpha + 1 = 0.
 269         //   [Use the Newton iteration  alpha --> (alpha+1)/log(alpha)  to
 270         //    compute this number.]
 271         // Finally we compute the sums of the series f(x) and g(x) with N terms
 272         // each.
 273
 274 const cl_LF compute_eulerconst_besselintegral1 (uintC len)
 275 {
 276         // We compute f(x) classically and g(x) using the partial sums of f(x).
 277         var uintC actuallen = len+1; // 1 Schutz-Digit
 278         var uintL sx = (uintL)(0.25*0.693148*intDsize*actuallen)+1;
 279         var uintL N = (uintL)(3.591121477*sx);
 280         var cl_I x = square((cl_I)sx);
 281         var cl_LF eps = scale_float(cl_I_to_LF(1,LF_minlen),-(sintL)(sx*2.88539+10));
 282         var cl_LF fterm = cl_I_to_LF(1,actuallen);
 283         var cl_LF fsum = fterm;
 284         var cl_LF gterm = cl_I_to_LF(0,actuallen);
 285         var cl_LF gsum = gterm;
 286         var uintL n;
 287         // After n loops
 288         //   fterm = x^n/n!^2, fsum = 1 + x/1!^2 + ... + x^n/n!^2,
 289         //   gterm = H_n*x^n/n!^2, gsum = H_1*x/1!^2 + ... + H_n*x^n/n!^2.
 290         for (n = 1; n < N; n++) {
 291                 fterm = The(cl_LF)(fterm*x)/square((cl_I)n);
 292                 gterm = (The(cl_LF)(gterm*x)/(cl_I)n + fterm)/(cl_I)n;
 293                 if (len < 10 || n <= sx) {
 294                         fsum = fsum + fterm;
 295                         gsum = gsum + gterm;
 296                 } else {
 297                         // For n > sx, the terms are decreasing.
 298                         // So we can reduce the precision accordingly.
 299                         fterm = cl_LF_shortenwith(fterm,eps);
 300                         gterm = cl_LF_shortenwith(gterm,eps);
 301                         fsum = fsum + LF_to_LF(fterm,actuallen);
 302                         gsum = gsum + LF_to_LF(gterm,actuallen);
 303                 }
 304         }
 305         var cl_LF result = gsum/fsum - ln(cl_I_to_LF(sx,actuallen));
 306         return shorten(result,len); // verkürzen und fertig
 307 }
 308 // Bit complexity (N = len): O(N^2).
 309
 310 #if 0 // works, but besselintegral1 is faster
 311
 312 const cl_LF compute_eulerconst_besselintegral2 (uintC len)
 313 {
 314         // We compute the sum of the series f(x) as
 315         //   sum(0 <= n < N, a(n)/b(n) * (p(0)...p(n))/(q(0)...q(n)))
 316         // with a(n) = 1, b(n) = 1, p(n) = x for n>0, q(n) = n^2 for n>0.
 317         // and the sum of the series g(x) as
 318         //   sum(0 <= n < N, a(n)/b(n) * (p(0)...p(n))/(q(0)...q(n)))
 319         // with
 320         // a(n) = HN_{n+1}, b(n) = 1, p(n) = x, q(n) = (n+1)^2 * HD_{n+1}/HD_{n}
 321         // where HD_n := lcm(1,...,n) and HN_n := HD_n * H_n. (Note that
 322         // HD_n need not be the lowest possible denominator of H_n. For
 323         // example, n=6: H_6 = 49/20, but HD_6 = 60.)
 324         // WARNING: The memory used by this algorithm grown quadratically in N.
 325         // (Because HD_n grows like exp(n), hence HN_n grows like exp(n) as
 326         // well, and we store all HN_n values in an array!)
 327         var uintC actuallen = len+1; // 1 Schutz-Digit
 328         var uintL sx = (uintL)(0.25*0.693148*intDsize*actuallen)+1;
 329         var uintL N = (uintL)(3.591121477*sx);
 330         var cl_I x = square((cl_I)sx);
 331         CL_ALLOCA_STACK;
 332         var cl_I* av = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
 333         var cl_I* pv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
 334         var cl_I* qv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
 335         var uintL n;
 336         // Evaluate f(x).
 337         init1(cl_I, pv[0]) (1);
 338         init1(cl_I, qv[0]) (1);
 339         for (n = 1; n < N; n++) {
 340                 init1(cl_I, pv[n]) (x);
 341                 init1(cl_I, qv[n]) ((cl_I)n*(cl_I)n);
 342         }
 343         var cl_pq_series fseries;
 344         fseries.pv = pv; fseries.qv = qv; fseries.qsv = NULL;
 345         var cl_LF fsum = eval_rational_series(N,fseries,actuallen);
 346         for (n = 0; n < N; n++) {
 347                 pv[n].~cl_I();
 348                 qv[n].~cl_I();
 349         }
 350         // Evaluate g(x).
 351         var cl_I HN = 0;
 352         var cl_I HD = 1;
 353         for (n = 0; n < N; n++) {
 354                 // Now HN/HD = H_n.
 355                 var cl_I Hu = gcd(HD,n+1);
 356                 var cl_I Hv = exquopos(n+1,Hu);
 357                 HN = HN*Hv + exquopos(HD,Hu);
 358                 HD = HD*Hv;
 359                 // Now HN/HD = H_{n+1}.
 360                 init1(cl_I, av[n]) (HN);
 361                 init1(cl_I, pv[n]) (x);
 362                 init1(cl_I, qv[n]) (Hv*(cl_I)(n+1)*(cl_I)(n+1));
 363         }
 364         var cl_pqa_series gseries;
 365         gseries.av = av;
 366         gseries.pv = pv; gseries.qv = qv; gseries.qsv = NULL;
 367         var cl_LF gsum = eval_rational_series(N,gseries,actuallen);
 368         for (n = 0; n < N; n++) {
 369                 av[n].~cl_I();
 370                 pv[n].~cl_I();
 371                 qv[n].~cl_I();
 372         }
 373         var cl_LF result = gsum/fsum - ln(cl_I_to_LF(sx,actuallen));
 374         return shorten(result,len); // verkürzen und fertig
 375 }
 376 // Bit complexity (N = len): O(N^2).
 377 // Memory consumption: O(N^2).
 378
 379 // Same algorithm as besselintegral2, but without quadratic memory consumption.
 380 #define cl_rational_series_for_g cl_rational_series_for_besselintegral3_g
 381 struct cl_rational_series_for_g : cl_pqa_series_stream {
 382         uintL n;
 383         cl_I HN;
 384         cl_I HD;
 385         cl_I x;
 386         static cl_pqa_series_term computenext (cl_pqa_series_stream& thisss)
 387         {
 388                 var cl_rational_series_for_g& thiss = (cl_rational_series_for_g&)thisss;
 389                 var uintL n = thiss.n;
 390                 // Now HN/HD = H_n.
 391                 var cl_I Hu = gcd(thiss.HD,n+1);
 392                 var cl_I Hv = exquopos(n+1,Hu);
 393                 thiss.HN = thiss.HN*Hv + exquopos(thiss.HD,Hu);
 394                 thiss.HD = thiss.HD*Hv;
 395                 // Now HN/HD = H_{n+1}.
 396                 var cl_pqa_series_term result;
 397                 result.p = thiss.x;
 398                 result.q = Hv*(cl_I)(n+1)*(cl_I)(n+1);
 399                 result.a = thiss.HN;
 400                 thiss.n = n+1;
 401                 return result;
 402         }
 403         cl_rational_series_for_g (const cl_I& _x)
 404                 : cl_pqa_series_stream (cl_rational_series_for_g::computenext),
 405                   n (0), HN (0), HD (1), x (_x) {}
 406 };
 407 const cl_LF compute_eulerconst_besselintegral3 (uintC len)
 408 {
 409         var uintC actuallen = len+1; // 1 Schutz-Digit
 410         var uintL sx = (uintL)(0.25*0.693148*intDsize*actuallen)+1;
 411         var uintL N = (uintL)(3.591121477*sx);
 412         var cl_I x = square((cl_I)sx);
 413         CL_ALLOCA_STACK;
 414         var cl_I* pv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
 415         var cl_I* qv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
 416         var uintL n;
 417         // Evaluate f(x).
 418         init1(cl_I, pv[0]) (1);
 419         init1(cl_I, qv[0]) (1);
 420         for (n = 1; n < N; n++) {
 421                 init1(cl_I, pv[n]) (x);
 422                 init1(cl_I, qv[n]) ((cl_I)n*(cl_I)n);
 423         }
 424         var cl_pq_series fseries;
 425         fseries.pv = pv; fseries.qv = qv; fseries.qsv = NULL;
 426         var cl_LF fsum = eval_rational_series(N,fseries,actuallen);
 427         for (n = 0; n < N; n++) {
 428                 pv[n].~cl_I();
 429                 qv[n].~cl_I();
 430         }
 431         // Evaluate g(x).
 432         var cl_rational_series_for_g gseries = cl_rational_series_for_g(x);
 433         var cl_LF gsum = eval_rational_series(N,gseries,actuallen);
 434         var cl_LF result = gsum/fsum - ln(cl_I_to_LF(sx,actuallen));
 435         return shorten(result,len); // verkürzen und fertig
 436 }
 437 // Bit complexity (N = len): O(N^2).
 438
 439 #endif
 440
 441 // Same algorithm as besselintegral1, but using binary splitting to evaluate
 442 // the sums.
 443 const cl_LF compute_eulerconst_besselintegral4 (uintC len)
 444 {
 445         var uintC actuallen = len+2; // 2 Schutz-Digits
 446         var uintL sx = (uintL)(0.25*0.693148*intDsize*actuallen)+1;
 447         var uintL N = (uintL)(3.591121477*sx);
 448         var cl_I x = square((cl_I)sx);
 449         CL_ALLOCA_STACK;
 450         var cl_pqd_series_term* args = (cl_pqd_series_term*) cl_alloca(N*sizeof(cl_pqd_series_term));
 451         var uintL n;
 452         for (n = 0; n < N; n++) {
 453                 init1(cl_I, args[n].p) (x);
 454                 init1(cl_I, args[n].q) (square((cl_I)(n+1)));
 455                 init1(cl_I, args[n].d) (n+1);
 456         }
 457         var cl_pqd_series_result sums;
 458         eval_pqd_series_aux(N,args,sums);
 459         // Instead of computing  fsum = 1 + T/Q  and  gsum = V/(D*Q)
 460         // and then dividing them, to compute  gsum/fsum, we save two
 461         // divisions by computing  V/(D*(Q+T)).
 462         var cl_LF result =
 463           cl_I_to_LF(sums.V,actuallen)
 464           / The(cl_LF)(sums.D * cl_I_to_LF(sums.Q+sums.T,actuallen))
 465           - ln(cl_I_to_LF(sx,actuallen));
 466         for (n = 0; n < N; n++) {
 467                 args[n].p.~cl_I();
 468                 args[n].q.~cl_I();
 469                 args[n].d.~cl_I();
 470         }
 471         return shorten(result,len); // verkürzen und fertig
 472 }
 473 // Bit complexity (N = len): O(log(N)^2*M(N)).
 474
 475 // Timings of the above algorithms, on an i486 33 MHz, running Linux.
 476 //    N      exp      exp1    exp2    bessel1   bessel2   bessel3   bessel4
 477 //    10     0.51     0.28    0.52     0.11      0.16      0.16      0.15
 478 //    25     2.23     0.83    2.12     0.36      0.62      0.63      0.62
 479 //    50     6.74     2.23    6.54     0.95      1.95      1.97      1.95
 480 //   100    19.1      6.74   20.6      2.96      6.47      6.42      6.3
 481 //   250    84       37.4    78       16.3      33.6      32.0      28.8
 482 //   500   230      136.5   206       60.5       ---     111        85
 483 //  1000   591      520     536      229         ---     377       241
 484 //  1050                             254                           252
 485 //  1100                             277                           266
 486 //  2500  1744             2108    (1268)                          855 (run)
 487 //  2500  1845             2192    (1269)                          891 (real)
 488 //
 489 // asymp.  FAST      N^2     FAST    N^2        N^2      N^2       FAST
 490 // (FAST means O(log(N)^2*M(N)))
 491 //
 492 // The break-even point between "bessel1" and "bessel4" is at about N = 1050.
 493 const cl_LF compute_eulerconst (uintC len)
 494 {
 495         if (len >= 1050)
 496                 return compute_eulerconst_besselintegral4(len);
 497         else
 498                 return compute_eulerconst_besselintegral1(len);
 499 }
 500
 501 const cl_LF cl_eulerconst (uintC len)
 502 {
 503         var uintC oldlen = TheLfloat(cl_LF_eulerconst)->len; // vorhandene Länge
 504         if (len < oldlen)
 505                 return shorten(cl_LF_eulerconst,len);
 506         if (len == oldlen)
 507                 return cl_LF_eulerconst;
 508
 509         // TheLfloat(cl_LF_eulerconst)->len um mindestens einen konstanten Faktor
 510         // > 1 wachsen lassen, damit es nicht zu häufig nachberechnet wird:
 511         var uintC newlen = len;
 512         oldlen += floor(oldlen,2); // oldlen * 3/2
 513         if (newlen < oldlen)
 514                 newlen = oldlen;
 515
 516         // gewünschte > vorhandene Länge -> muß nachberechnen:
 517         cl_LF_eulerconst = compute_eulerconst(newlen);
 518         return (len < newlen ? shorten(cl_LF_eulerconst,len) : cl_LF_eulerconst);
 519 }