src/polynomial/misc/cl_UP_I_laguerre.cc

   1 // cl_laguerre().
   2
   3 // General includes.
   4 #include "cl_sysdep.h"
   5
   6 // Specification.
   7 #include "cl_univpoly_integer.h"
   8
   9
  10 // Implementation.
  11
  12 #include "cl_integer.h"
  13
  14 const cl_UP_I cl_laguerre (sintL n)
  15 {
  16 // The Laguerre polynomials L_n(x) are defined as
  17 //
  18 //                    ( d  ) n
  19 //    L_n(x) = exp(x) (----)   (x^n exp(-x))
  20 //                    ( dx )
  21 //
  22 // They satisfy the recurrence relation
  23 //
  24 //    L_0(x) = 1
  25 //    L_{n+1}(x) = (2n+1-x) L_n(x) - n^2 L_{n-1}(x) for n >= 0.
  26 //
  27 // Theorem:
  28 //    L_n(x) satisfies the differential equation
  29 //    x*L_n''(x) + (1-x)*L_n'(x) + n*L_n(x) = 0.
  30 //
  31 // Proof: See elsewhere.
  32 //
  33 // Corollary:
  34 //    The coefficients c_{n,k} of L_n(x) = sum(k=0..n, c_{n,k} x^k)
  35 //    satisfy:
  36 //       c_{n,n} = (-1)^n,
  37 //       c_{n,k} = (k+1)^2/(k-n)*c_{n,k+1}
  38 //
  39 // It follows that for n>=0
  40 //
  41 //       L_n(x) = sum(j=0..n, (-1)^(n-j) n!^2/j!(n-j)!^2 x^(n-j))
  42 //
  43         var cl_univpoly_integer_ring R = cl_find_univpoly_ring(cl_I_ring);
  44         var cl_UP_I l = R->create(n);
  45         var sintL k = n;
  46         var cl_I c_k = (evenp(n) ? 1 : -1);
  47         for (;;) {
  48                 l.set_coeff(k,c_k);
  49                 k = k-1;
  50                 if (k < 0)
  51                         break;
  52                 c_k = exquo((cl_I)(k+1) * (cl_I)(k+1) * c_k,
  53                             (cl_I)(k-n));
  54         }
  55         l.finalize();
  56         return l;
  57 }