ginac/clifford.h

   1 /** @file clifford.h
   2  *
   3  *  Interface to GiNaC's clifford algebra (Dirac gamma) objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2021 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #ifndef GINAC_CLIFFORD_H
  24 #define GINAC_CLIFFORD_H
  25
  26 #include "indexed.h"
  27 #include "tensor.h"
  28 #include "symbol.h"
  29 #include "idx.h"
  30
  31 #include <set>
  32
  33 namespace GiNaC {
  34
  35 /** This class holds an object representing an element of the Clifford
  36  *  algebra (the Dirac gamma matrices). These objects only carry Lorentz
  37  *  indices. Spinor indices are hidden. A representation label (an unsigned
  38  *  8-bit integer) is used to distinguish elements from different Clifford
  39  *  algebras (objects with different labels commutate). */
  40 class clifford : public indexed
  41 {
  42         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(clifford, indexed)
  43         // other constructors
  44 public:
  45         clifford(const ex & b, unsigned char rl = 0);
  46         clifford(const ex & b, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0, int comm_sign = -1);
  47
  48         // internal constructors
  49         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, int comm_sign, const exvector & v);
  50         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, int comm_sign, exvector && v);
  51
  52         // functions overriding virtual functions from base classes
  53 public:
  54         unsigned precedence() const override { return 65; }
  55         void archive(archive_node& n) const override;
  56         void read_archive(const archive_node& n, lst& sym_lst) override;
  57 protected:
  58         ex eval_ncmul(const exvector & v) const override;
  59         bool match_same_type(const basic & other) const override;
  60         ex thiscontainer(const exvector & v) const override;
  61         ex thiscontainer(exvector && v) const override;
  62         unsigned return_type() const override { return return_types::noncommutative; }
  63         return_type_t return_type_tinfo() const override;
  64         // non-virtual functions in this class
  65 public:
  66         unsigned char get_representation_label() const { return representation_label; }
  67         ex get_metric() const { return metric; }
  68         virtual ex get_metric(const ex & i, const ex & j, bool symmetrised = false) const;
  69         bool same_metric(const ex & other) const;
  70         int get_commutator_sign() const { return commutator_sign; } //**< See the member variable commutator_sign */
  71
  72         inline size_t nops() const override {return inherited::nops() + 1; }
  73         ex op(size_t i) const override;
  74         ex & let_op(size_t i) override;
  75         ex subs(const exmap & m, unsigned options = 0) const override;
  76
  77 protected:
  78         void do_print_dflt(const print_dflt & c, unsigned level) const;
  79         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  80         void do_print_tree(const print_tree & c, unsigned level) const;
  81
  82         // member variables
  83 protected:
  84         unsigned char representation_label; /**< Representation label to distinguish independent spin lines */
  85         ex metric; /**< Metric of the space, all constructors make it an indexed object */
  86         int commutator_sign; /**< It is the sign in the definition e~i e~j +/- e~j e~i = B(i, j) + B(j, i)*/
  87 };
  88 GINAC_DECLARE_UNARCHIVER(clifford);
  89
  90 /** This class represents the Clifford algebra unity element. */
  91 class diracone : public tensor
  92 {
  93         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracone, tensor)
  94
  95         // non-virtual functions in this class
  96 protected:
  97         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
  98         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  99 };
 100 GINAC_DECLARE_UNARCHIVER(diracone);
 101
 102
 103 /** This class represents the Clifford algebra generators (units). */
 104 class cliffordunit : public tensor
 105 {
 106         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(cliffordunit, tensor)
 107
 108         // functions overriding virtual functions from base classes
 109 public:
 110         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const override;
 111
 112         // non-virtual functions in this class
 113 protected:
 114         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 115         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 116 };
 117 GINAC_DECLARE_UNARCHIVER(cliffordunit);
 118
 119
 120 /** This class represents the Dirac gamma Lorentz vector. */
 121 class diracgamma : public cliffordunit
 122 {
 123         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma, cliffordunit)
 124
 125         // functions overriding virtual functions from base classes
 126 public:
 127         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const override;
 128
 129         // non-virtual functions in this class
 130 protected:
 131         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 132         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 133 };
 134 GINAC_DECLARE_UNARCHIVER(diracgamma);
 135
 136
 137 /** This class represents the Dirac gamma5 object which anticommutates with
 138  *  all other gammas. */
 139 class diracgamma5 : public tensor
 140 {
 141         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma5, tensor)
 142
 143         // functions overriding virtual functions from base classes
 144         ex conjugate() const override;
 145
 146         // non-virtual functions in this class
 147 protected:
 148         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 149         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 150 };
 151 GINAC_DECLARE_UNARCHIVER(diracgamma5);
 152
 153
 154 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 155  *  1/2 (1-gamma5). */
 156 class diracgammaL : public tensor
 157 {
 158         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaL, tensor)
 159
 160         // functions overriding virtual functions from base classes
 161         ex conjugate() const override;
 162
 163         // non-virtual functions in this class
 164 protected:
 165         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 166         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 167 };
 168 GINAC_DECLARE_UNARCHIVER(diracgammaL);
 169
 170
 171 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 172  *  1/2 (1+gamma5). */
 173 class diracgammaR : public tensor
 174 {
 175         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaR, tensor)
 176
 177         // functions overriding virtual functions from base classes
 178         ex conjugate() const override;
 179
 180         // non-virtual functions in this class
 181 protected:
 182         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 183         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 184 };
 185 GINAC_DECLARE_UNARCHIVER(diracgammaR);
 186
 187
 188 // global functions
 189
 190 /** Check whether a given return_type_t object (as returned by return_type_tinfo()
 191   * is that of a clifford object (with an arbitrary representation label).
 192   *
 193   * @param ti tinfo key */
 194 inline bool is_clifford_tinfo(const return_type_t& ti)
 195 {
 196         return *(ti.tinfo) == typeid(clifford);
 197 }
 198
 199 /** Create a Clifford unity object.
 200  *
 201  *  @param rl Representation label
 202  *  @return newly constructed object */
 203 ex dirac_ONE(unsigned char rl = 0);
 204
 205 /** Create a Clifford unit object.
 206  *
 207  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 208  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 209  *  @param rl Representation label
 210  *  @return newly constructed Clifford unit object */
 211 ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl = 0);
 212
 213 /** Create a Dirac gamma object.
 214  *
 215  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 216  *  @param rl Representation label
 217  *  @return newly constructed gamma object */
 218 ex dirac_gamma(const ex & mu, unsigned char rl = 0);
 219
 220 /** Create a Dirac gamma5 object.
 221  *
 222  *  @param rl Representation label
 223  *  @return newly constructed object */
 224 ex dirac_gamma5(unsigned char rl = 0);
 225
 226 /** Create a Dirac gammaL object.
 227  *
 228  *  @param rl Representation label
 229  *  @return newly constructed object */
 230 ex dirac_gammaL(unsigned char rl = 0);
 231
 232 /** Create a Dirac gammaR object.
 233  *
 234  *  @param rl Representation label
 235  *  @return newly constructed object */
 236 ex dirac_gammaR(unsigned char rl = 0);
 237
 238 /** Create a term of the form e_mu * gamma~mu with a unique index mu.
 239  *
 240  *  @param e Original expression
 241  *  @param dim Dimension of index
 242  *  @param rl Representation label */
 243 ex dirac_slash(const ex & e, const ex & dim, unsigned char rl = 0);
 244
 245 /** Calculate dirac traces over the specified set of representation labels.
 246  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 247  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 248  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 249  *
 250  *  @param e Expression to take the trace of
 251  *  @param rls Set of representation labels
 252  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 253 ex dirac_trace(const ex & e, const std::set<unsigned char> & rls, const ex & trONE = 4);
 254
 255 /** Calculate dirac traces over the specified list of representation labels.
 256  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 257  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 258  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 259  *
 260  *  @param e Expression to take the trace of
 261  *  @param rll List of representation labels
 262  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 263 ex dirac_trace(const ex & e, const lst & rll, const ex & trONE = 4);
 264
 265 /** Calculate the trace of an expression containing gamma objects with
 266  *  a specified representation label. The computed trace is a linear
 267  *  functional that is equal to the usual trace only in D = 4 dimensions.
 268  *  In particular, the functional is not always cyclic in D != 4 dimensions
 269  *  when gamma5 is involved.
 270  *
 271  *  @param e Expression to take the trace of
 272  *  @param rl Representation label
 273  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 274 ex dirac_trace(const ex & e, unsigned char rl = 0, const ex & trONE = 4);
 275
 276 /** Bring all products of clifford objects in an expression into a canonical
 277  *  order. This is not necessarily the most simple form but it will allow
 278  *  to check two expressions for equality. */
 279 ex canonicalize_clifford(const ex & e);
 280
 281 /** Automorphism of the Clifford algebra, simply changes signs of all
 282  *  clifford units. */
 283 ex clifford_prime(const ex & e);
 284
 285 /** An auxillary function performing clifford_star() and clifford_bar().*/
 286 ex clifford_star_bar(const ex & e, bool do_bar, unsigned options);
 287
 288 /** Main anti-automorphism of the Clifford algebra: makes reversion
 289  *  and changes signs of all clifford units. */
 290 inline ex clifford_bar(const ex & e) { return clifford_star_bar(e, true, 0); }
 291
 292 /** Reversion of the Clifford algebra, reverse the order of all clifford units
 293  *  in ncmul. */
 294 inline ex clifford_star(const ex & e) { return clifford_star_bar(e, false, 0); }
 295
 296 /** Replaces dirac_ONE's (with a representation_label no less than rl) in e with 1.
 297  *  For the default value rl = 0 remove all of them. Aborts if e contains any
 298  *  clifford_unit with representation_label to be removed.
 299  *
 300  *  @param e Expression to be processed
 301  *  @param rl Value of representation label
 302  *  @param options Defines some internal use */
 303 ex remove_dirac_ONE(const ex & e, unsigned char rl = 0, unsigned options = 0);
 304
 305 /** Returns the maximal representation label of a clifford object
 306  *  if e contains at least one, otherwise returns -1
 307  *
 308  *  @param e Expression to be processed
 309  *  @ignore_ONE defines if clifford_ONE should be ignored in the search*/
 310 int clifford_max_label(const ex & e, bool ignore_ONE = false);
 311
 312 /** Calculation of the norm in the Clifford algebra. */
 313 ex clifford_norm(const ex & e);
 314
 315 /** Calculation of the inverse in the Clifford algebra. */
 316 ex clifford_inverse(const ex & e);
 317
 318 /** List or vector conversion into the Clifford vector.
 319  *
 320  *  @param v List or vector of coordinates
 321  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 322  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 323  *  @param rl Representation label
 324  *  @param e Clifford unit object
 325  *  @return Clifford vector with given components */
 326 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0);
 327 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & e);
 328
 329 /** An inverse function to lst_to_clifford(). For given Clifford vector extracts
 330  *  its components with respect to given Clifford unit. Obtained components may
 331  *  contain Clifford units with a different metric. Extraction is based on
 332  *  the algebraic formula (e * c.i + c.i * e)/ pow(e.i, 2) for non-degenerate cases
 333  *  (i.e. neither pow(e.i, 2) = 0).
 334  *
 335  *  @param e Clifford expression to be decomposed into components
 336  *  @param c Clifford unit defining the metric for splitting (should have numeric dimension of indices)
 337  *  @param algebraic Use algebraic or symbolic algorithm for extractions
 338  *  @return List of components of a Clifford vector*/
 339 lst clifford_to_lst(const ex & e, const ex & c, bool algebraic=true);
 340
 341 /** Calculations of Moebius transformations (conformal map) defined by a 2x2 Clifford matrix
 342  *  (a b\\c d) in linear spaces with arbitrary signature. The expression is
 343  *  (a * x + b)/(c * x + d), where x is a vector build from list v with metric G.
 344  *  (see Jan Cnops. An introduction to {D}irac operators on manifolds, v.24 of
 345  *  Progress in Mathematical Physics. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 2002.)
 346  *
 347  *  @param a (1,1) entry of the defining matrix
 348  *  @param b (1,2) entry of the defining matrix
 349  *  @param c (2,1) entry of the defining matrix
 350  *  @param d (2,2) entry of the defining matrix
 351  *  @param v Vector to be transformed
 352  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 353  *  @param rl Representation label
 354  *  @return List of components of the transformed vector*/
 355 ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
 356
 357 /** The second form of Moebius transformations defined by a 2x2 Clifford matrix M
 358  *  This function takes the transformation matrix M as a single entity.
 359  *
 360  *  @param M the defining matrix
 361  *  @param v Vector to be transformed
 362  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 363  *  @param rl Representation label
 364  *  @return List of components of the transformed vector*/
 365 ex clifford_moebius_map(const ex & M, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
 366
 367 } // namespace GiNaC
 368
 369 #endif // ndef GINAC_CLIFFORD_H